Ce contrôle de mathématiques de niveau Première spécialité porte sur le chapitre de la dérivation globale. D'une durée d'une heure, ce sujet balaye les compétences essentielles relatives à l'étude de fonctions via l'outil de la dérivation. Il s'articule autour de problèmes concrets d'optimisation, d'études de fonctions polynomiales et avec racines, ainsi que d'analyses graphiques. Ce document est un excellent support pour s'entraîner à maîtriser le calcul de dérivées, la construction de tableaux de variation et l'interprétation du nombre dérivé. Vous trouverez ici une analyse détaillée de chaque exercice, idéale pour une révision approfondie.

Exercice 1 : Problème d'optimisation (Bénéfice d'un producteur de truffes)

Cet exercice est un cas classique d'optimisation appliqué à un contexte économique. On étudie le bénéfice d'un producteur de truffes.

• Le coût de production est modélisé par une fonction polynomiale du troisième degré : \( C(x) = x^3 - 60x^2 + 975x \).
• Les premières questions consistent à calculer des coûts, recettes et bénéfices pour une production donnée, afin de s'approprier le contexte.
• La question centrale est de démontrer que la fonction bénéfice est \( B(x) = -x^3 + 60x^2 - 525x \) pour \( x \in [0; 45] \).
• L'étape cruciale est l'étude des variations de cette fonction \( B \). Pour ce faire, il faut :
  1. Calculer la fonction dérivée \( B'(x) \), qui est un polynôme du second degré.
  2. Étudier le signe de \( B'(x) \) en calculant son discriminant et ses racines.
  3. Dresser le tableau de variation de \( B \) sur l'intervalle \( [0; 45] \).
• La dernière question demande de déterminer la production pour laquelle le bénéfice est maximal et la valeur de ce bénéfice, ce qui correspond à la lecture de l'extremum de la fonction dans le tableau de variation.

Exercice 2 : Vrai ou Faux avec justification

Cet exercice teste la rigueur du raisonnement et la maîtrise des techniques de dérivation et d'interprétation graphique.

• Affirmations 1 et 2 : Elles concernent la fonction \( f(x) = (2x - 24)√x \). Pour y répondre, il faut d'abord calculer la dérivée de \( f \), qui est un produit de fonctions (\( u \times v \)). La maîtrise de la formule de dérivation d'un produit et de la dérivée de la fonction racine carrée est ici indispensable. Après simplification, on vérifie si la dérivée obtenue correspond à la formule proposée. Ensuite, l'étude du signe de cette dérivée permet de trouver les variations de \( f \) et de déterminer son minimum, afin de valider ou d'invalider la deuxième affirmation.
• Affirmation 3 : Il s'agit d'une compétence d'analyse graphique. En observant la courbe représentative d'une fonction \( g \), on doit déterminer si une autre courbe peut être celle de sa dérivée \( g' \). La clé est de faire le lien entre le sens de variation de \( g \) et le signe de \( g' \) :
  • Si \( g \) est croissante, alors \( g' \) doit être positive.
  • Si \( g \) est décroissante, alors \( g' \) doit être négative.
  • Aux extremums de \( g \) (tangente horizontale), \( g' \) doit s'annuler.

Exercice 3 : Étude de fonction avec fonction auxiliaire

Cet exercice complexe guide l'élève à travers l'étude d'une fonction polynomiale de degré 5 en utilisant une fonction auxiliaire.

• Partie A : On étudie une fonction auxiliaire \( g(x) = x^3 + 6x - 7 \). On montre qu'elle est strictement croissante en étudiant le signe de sa dérivée \( g'(x) = 3x^2 + 6 \). En calculant \( g(1) = 0 \), on peut dresser le tableau de signe complet de \( g(x) \).
• Partie B : On s'intéresse à la fonction \( f(x) = -2x^5 - 20x^3 + 35x^2 \). La première étape est de vérifier que sa dérivée est liée à la fonction auxiliaire par la relation \( f'(x) = -10x \times g(x) \). Cette astuce permet de déterminer le signe de \( f'(x) \) en combinant les signes de \( -10x \) et \( g(x) \) dans un tableau de signes, et d'en déduire les variations de \( f \). La dernière question porte sur l'existence de tangentes parallèles à une droite donnée, ce qui revient à résoudre l'équation \( f'(x) = m \), où \( m \) est le coefficient directeur de la droite. L'étude des variations de \( f' \) peut être nécessaire pour conclure.

Exercice 4 : Calcul de dérivée par lecture graphique

Cet exercice évalue la capacité à interpréter graphiquement le concept de nombre dérivé. On définit une fonction \( f(x) = u(x)/v(x) \) et on demande de calculer \( f'(1) \) à partir des graphiques de \( u \) et \( v \).

• Il faut appliquer la formule de la dérivée d'un quotient : \( f'(1) = \frac{u'(1)v(1) - u(1)v'(1)}{[v(1)]^2} \).
• Chaque terme de la formule doit être déterminé graphiquement :
  • \( u(1) \) et \( v(1) \) sont les ordonnées des points d'abscisse 1 sur les courbes respectives.
  • \( u'(1) \) est le nombre dérivé de \( u \) en 1, qui correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe de \( u \) au point d'abscisse 1.
  • \( v'(1) \) est le coefficient directeur de la droite représentant \( v \) (puisque \( v \) est une fonction affine).
• Une fois ces quatre valeurs lues sur le graphique, un simple calcul donne le résultat.