13. Tangentes parallèles ou horizontales

Introduction

Et c'est parti pour des exercices que vous êtes assurés d'avoir au contrôle, c'est-à-dire déterminer quand est-ce que la tangente est horizontale ou parallèle à une droite. Pour résoudre ces problèmes de contrôle, il faut vraiment que vous soyez clair sur une chose : qu'est-ce que le nombre dérivé ? Je vous ai remis la définition graphique ici : le nombre dérivé, c'est le coefficient directeur de la tangente. Mettez-vous ça dans la tête.

Quand la tangente est horizontale

Donc, nous on veut que la tangente soit horizontale. Donc si la tangente est horizontale, ça veut dire que son coefficient directeur, c'est-à-dire sa pente, vaut zéro. Je vous rappelle que quand la pente est positive, elle monte, quand la pente est négative, elle descend et quand la pente est horizontale, le coefficient directeur vaut zéro. Donc dans ce cas-là, je veux que le coefficient directeur soit égal à zéro. Sauf que, qu'est-ce que c'est que le coefficient directeur ? Le coefficient directeur, c'est le nombre dérivé. Donc on veut \(f'(x) = 0\). Sauf que \(f'(x)\) se calcule facilement : \(f'(x) = 3x^2 + 6x\). Et on veut que ça fasse 0. Donc je factorise par \(x\), \(x(3x + 6) = 0\). Donc soit \(x = 0\), soit \(3x + 6 = 0\). Ça veut dire que les deux points où on a la tangente qui est horizontale, c'est quand \(x = 0\) ou quand \(x = -6/3\), donc \(x = -2\).

Quand la tangente est parallèle à une droite

On fait une légère variante : on vous donne la fonction, on veut savoir quels sont les abscisses des points où la tangente est parallèle à la droite d'équation \(y = -x + 6\). Si la tangente est parallèle à cette droite, c'est-à-dire qu'elle a le même coefficient directeur, parce que ce qui fait la pente, c'est le coefficient directeur. Donc si la tangente est parallèle à cette droite, ça veut dire qu'elle a le même coefficient directeur. Quel est le coefficient directeur de cette droite ? C'est -1. Donc la tangente a pour coefficient directeur -1. Le coefficient directeur, c'est \(f'(x)\). Donc \(f'(x) = -1\). Mais \(f'(x)\), on sait ce que c'est, c'est \(3x^2 + 6x = -1\). Autrement dit, \(3x^2 + 6x + 1 = 0\). Et vous avez de nouveau un polynôme du second degré que vous pouvez résoudre pour trouver les endroits où la tangente est parallèle à la droite d'équation \(y = -x + 6\).

Conclusion

Voilà, c'est les points entre 15 et 20. Donc si vous avez des ambitions, si vous avez envie de cartonner, ce sont ces exercices-là qui vont vous satisfaire. On vous en a mis en dessous avec la correction. À vous de jouer maintenant.