Ce contrôle corrigé de mathématiques pour la classe de Première spécialité est une excellente ressource pour s'entraîner et valider ses connaissances sur trois chapitres fondamentaux du programme : la fonction exponentielle, les variables aléatoires et les suites numériques. D'une durée d'une heure, ce sujet de type bac blanc couvre un large spectre de compétences, allant du calcul pur à la modélisation et l'interprétation de résultats.

Téléchargez ce sujet de maths complet pour vous préparer efficacement aux évaluations. Chaque exercice est analysé pour mettre en lumière les savoir-faire essentiels à maîtriser.

Exercice 1 : QCM de connaissances fondamentales (7 points)

Ce premier exercice est un questionnaire à choix multiples qui vise à évaluer rapidement votre maîtrise des définitions, propriétés et calculs de base sur les fonctions exponentielles et les variables aléatoires.

• Question 1 : Simplification d'une expression avec exponentielle. Il s'agit d'utiliser les propriétés algébriques de l'exponentielle, comme \(e^{-x} = \frac{1}{e^x}\), pour transformer l'expression \(e^x - e^{-x}\).
• Question 2 : Dérivation d'une fonction exponentielle. Cet item teste votre capacité à dériver une fonction produit de la forme \(u(t)v(t)\) où l'une des fonctions est une exponentielle composée, ici \(f(t) = (2t + 4)e^{-2t}\). La maîtrise de la formule \((uv)' = u'v + uv'\) et de la dérivation de \(e^{ax}\) est indispensable.
• Question 3 : Résolution d'une équation exponentielle simple. La question porte sur la résolution de \(e^{3x+1} = 1\), ce qui requiert de connaître la propriété fondamentale \(e^A = e^B \Leftrightarrow A = B\) et que \(1 = e^0\).
• Question 4 : Résolution d'une inéquation avec exponentielle. Il faut résoudre \(e^{-2x+4} \leq 1\). La résolution s'appuie sur la stricte croissance de la fonction exponentielle (ou de sa réciproque, le logarithme), qui permet de conserver l'ordre de l'inégalité.
• Question 5 : Univers d'une variable aléatoire. Dans un contexte de lancers de dés, il faut identifier l'ensemble de toutes les valeurs possibles (l'univers image) que peut prendre la variable aléatoire \(X\) correspondant à la somme des résultats.
• Question 6 : Loi de probabilité. Cet item demande d'établir la loi de probabilité d'une variable aléatoire \(Y\) issue d'un tirage sans remise dans une urne. Il faut calculer la probabilité de chaque issue possible.
• Question 7 : Calcul d'espérance. En se basant sur la loi de probabilité établie précédemment, il faut calculer l'espérance mathématique \(E(Y)\), qui représente la valeur moyenne de \(Y\) sur un grand nombre d'expériences.

Exercice 2 : Étude complète d'une fonction exponentielle et modélisation (7 points)

Cet exercice est un problème classique d'analyse de fonction, appliqué à une situation concrète de pharmacocinétique (la concentration d'un produit dopant dans le sang). Il évalue la capacité à mener une étude de fonction de A à Z et à interpréter les résultats dans un contexte donné.

• Question 1 : On vous demande de calculer la fonction dérivée \(f'(x)\) de \(f(x) = 3xe^{-0,4x}\). C'est une application directe de la dérivation d'un produit.
• Question 2 : L'étude du signe de la dérivée \(f'(x)\) est une étape cruciale. Le signe de \(f'(x)\) dépend uniquement du facteur affine, puisque l'exponentielle est toujours positive. Cette étude permet de construire le tableau de variations complet de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0; +\infty[\).
• Question 3 : La dernière partie est consacrée à la modélisation. Il faut utiliser la fonction \(f\) pour répondre à des questions pratiques :
  • Calculer la quantité de produit à un instant donné (calcul d'image).
  • Déterminer la quantité maximale de produit et l'instant où elle est atteinte, en utilisant le maximum trouvé dans le tableau de variations.
  • Résoudre l'inéquation \(f(x) > 1,4\) (à l'aide de la calculatrice) pour déterminer la plage de temps durant laquelle un contrôle antidopage serait positif.

Exercice 3 : Variable aléatoire dans un contexte d'assurance (3 points)

Ce court exercice permet de travailler sur les variables aléatoires discrètes dans un contexte financier, celui d'un contrat d'assurance. C'est un excellent moyen de comprendre l'utilité de l'espérance mathématique.

• Question 1 : Il faut d'abord déterminer les valeurs que peut prendre la variable aléatoire \(X\), qui représente le gain de l'assureur. Ces valeurs dépendent de la survenue ou non d'un sinistre.
• Question 2 : Ensuite, il s'agit d'établir la loi de probabilité de X, en calculant la probabilité associée à chaque gain possible.
• Question 3 : Enfin, le calcul de l'espérance mathématique \(E(X)\) et son interprétation sont demandés. L'espérance permet à l'assureur de savoir si son contrat est rentable en moyenne.

Exercice 4 : Modélisation de la croissance d'une population par une suite (3 points)

Le dernier exercice aborde le chapitre des suites numériques à travers un modèle de croissance de population. Il fait le lien entre les suites géométriques et la fonction exponentielle.

• Question 1 : La tâche principale est de démontrer que la suite \((p_n)\), définie par \(p_n = 2e^{n/3}\), est une suite géométrique. Pour cela, il faut montrer que le quotient \(\frac{p_{n+1}}{p_n}\) est constant. La raison et le premier terme sont à identifier.
• Question 2 : Un simple calcul de terme est demandé pour estimer la population à un instant \(n=2\).
• Question 3 : Il faut déterminer le nombre d'années nécessaires pour que la population soit multipliée par 1000. Cela revient à résoudre une inéquation du type \(p_n \geq 2000\), qui peut être résolue par tâtonnement ou en utilisant le logarithme népérien.
• Question 4 : Une question d'ouverture invite à réfléchir sur la validité d'un modèle mathématique sur le long terme, en l'occurrence le modèle de croissance exponentielle qui ne prend pas en compte les facteurs limitants de l'environnement.