Ce document est un sujet de bac blanc de mathématiques (sujet 6) pour le niveau Première spécialité, d'une durée de 2 heures et sans calculatrice. Il constitue une excellente ressource pour s'entraîner en conditions réelles. Ce contrôle corrigé aborde plusieurs chapitres clés du programme : les automatismes, les suites arithmétiques et géométriques (notamment les suites arithmético-géométriques), les probabilités conditionnelles, la fonction exponentielle et la dérivation globale. Chaque exercice est détaillé ci-dessous pour une compréhension approfondie des compétences évaluées.

Automatismes (QCM - 6 points)

Cette première partie est un questionnaire à choix multiples qui évalue la maîtrise des savoir-faire de base, essentiels pour la réussite en mathématiques. Les questions couvrent un large spectre de notions :

• Calcul numérique : Comparaison de nombres sous différentes formes (fraction, décimal) comme \( A = \frac{23}{100} \), \( B = 0,2 \) et \( C = \frac{1}{4} \), et résolution d'équations simples avec des fractions (\( \frac{1}{z} = 4 + \frac{4}{9} \)).
• Calcul littéral : Manipulation d'expressions pour isoler une variable, par exemple exprimer A à partir de \( B = \frac{E+A}{C} \).
• Pourcentages : Calcul du coefficient multiplicateur associé à une augmentation (210%), et analyse d'évolutions successives (une hausse de 25% suivie d'une baisse de 25%).
• Fonctions et droites : Détermination des coordonnées du point d'intersection de deux droites d'équations réduites \( y = -2x - 3 \) et \( y = 4x - 2 \). Lecture graphique pour trouver l'équation d'une droite et résolution graphique d'inéquations comme \( f(x) > g(x) \). Étude de la position relative de deux droites.
• Statistiques et probabilités : Résolution de problèmes simples de proportionnalité et calcul de moyenne.
• Équations : Résolution d'une équation du second degré simple comme \( -14 - 7x^2 = 0 \) dans \( \mathbb{R} \).

Exercice 1 - Étude d'une suite arithmético-géométrique (5 points)

Cet exercice se concentre sur l'étude d'une suite \( (u_n) \) définie par une relation de récurrence de la forme \( u_{n+1} = au_n + b \). La suite est définie par \( u_0 = 10 \) et, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} = 0,5 u_n + 3 \).

• La première question demande de prouver que la suite n'est ni arithmétique, ni géométrique, en calculant les premiers termes.
• L'exercice guide ensuite vers la méthode classique d'étude de ces suites, en introduisant une suite auxiliaire \( (v_n) \) définie par \( v_n = u_n - 6 \).
• Il faut alors démontrer que \( (v_n) \) est une suite géométrique, identifier sa raison (0,5) et son premier terme.
• À partir de là, on en déduit l'expression explicite de \( v_n \) en fonction de \( n \), puis celle de \( u_n \), qui est \( u_n = 6 + 4 \times 0,5^n \).
• Le sens de variation de la suite \( (u_n) \) est étudié en analysant le signe de la différence \( u_{n+1} - u_n \).
• Finalement, l'exercice se conclut sur une conjecture de la limite de la suite en \( +\infty \), aidée par un tableau de valeurs fourni.

Exercice 2 - Probabilités Conditionnelles (5 points)

Cet exercice est un problème concret de probabilités conditionnelles. Le contexte est celui d'une fête du sport où les participants choisissent entre une randonnée (R) et un cross (C), avec des informations sur la proportion de licenciés (L) dans chaque groupe.

• La première étape consiste à extraire les probabilités de l'énoncé, notamment les probabilités conditionnelles \( P_R(L) \) et \( P_C(L) \).
• La situation est ensuite modélisée à l'aide d'un arbre de probabilités pondéré, un outil central pour ce chapitre.
• L'élève doit calculer la probabilité d'une intersection, \( P(R \cap L) \), et l'interpréter dans le contexte.
• L'application de la formule des probabilités totales est requise pour calculer la probabilité d'être licencié, \( P(L) \).
• Une question classique d'inversion de conditionnement est posée : calculer la probabilité qu'un participant ait choisi le cross sachant qu'il est licencié, c'est-à-dire \( P_L(C) \).
• L'exercice se termine par une question sur l'indépendance de deux événements, demandant de justifier si R et L sont indépendants.

Exercice 3 - Étude de fonction avec exponentielle (4 points)

Le dernier exercice est une étude de fonction classique impliquant la fonction exponentielle, un pilier de l'analyse en classe de Première. La fonction étudiée est \( f(x) = (x-2)e^x + x + 1 \).

• La première question porte sur le calcul de la fonction dérivée \( f'(x) \). Cela nécessite la maîtrise de la formule de dérivation d'un produit de fonctions.
• Pour faciliter l'étude du signe de la dérivée, une fonction auxiliaire \( g(x) = (x-1)e^x + 1 \) est introduite (on remarque que \( g(x)=f'(x) \)).
• Une étude de variation complète de \( g \) est demandée : calcul de sa dérivée \( g'(x) \), étude de son signe et construction du tableau de variations de \( g \).
• L'étude de \( g \) permet de déterminer son signe sur \( \mathbb{R} \) en utilisant son extremum.
• En combinant les résultats, l'élève peut enfin déduire le signe de \( f'(x) \) et, par conséquent, dresser le tableau de variations complet de la fonction \( f \).