Ce document est un sujet de contrôle de mathématiques de niveau Terminale STI2D, d'une durée d'une heure, portant sur le chapitre de la fonction exponentielle. Conçu pour évaluer la maîtrise des concepts fondamentaux, ce contrôle est un excellent outil de révision. Il aborde les propriétés algébriques de l'exponentielle, sa dérivation, l'étude de fonctions complètes, ainsi qu'une application concrète au calcul de taux d'évolution. Ce contrôle corrigé est idéal pour s'entraîner en conditions réelles et valider ses acquis.

Exercice 1 : Ce que dit le bulletin municipal (6 points)

Cet exercice est une mise en situation pratique qui évalue la capacité à analyser des données chiffrées et à appliquer les notions de pourcentages et de taux d'évolution. Il s'articule autour de deux documents présentant des chiffres de population d'une commune.

• Question 1 : Il est demandé de vérifier un taux d'évolution global de 21,6% entre 2021 (8 500 habitants) et 2024 (10 336 habitants). Le calcul attendu est : \( \frac{10336 - 8500}{8500} \approx 0,216 \).
• Question 2 : La population est modélisée par \( P(x) = 8\,500 \times a^x \), où \(a\) est le coefficient multiplicateur annuel moyen. Il faut justifier que \( a^3 = 1{,}216 \) (le coefficient multiplicateur global), puis déterminer \( a = 1{,}216^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}067\,4 \) pour en déduire le taux annuel moyen, soit \( 6{,}74\ \% \).
• Question 3 : Une question sur les propriétés algébriques des puissances. En remarquant que \( a^{1{,}5} \times a^{1{,}5} = a^3 \), il faut montrer que \( P(1{,}5)^2 = 8\,500 \times 10\,336 \), puis en déduire la population au 1^er juillet 2022 selon le modèle : \( P(1{,}5) = \sqrt{87\,856\,000} \approx 9\,373 \) habitants.
• Question 4 : Il s'agit de juger de la cohérence du bulletin municipal, qui annonce 9 418 habitants à mi-parcours en prenant la moyenne arithmétique de 8 500 et 10 336 : le modèle en donne environ 45 de moins. Il faut aussi expliquer que ce calcul suppose une progression du même nombre d'habitants chaque année (612 par an), et non une progression régulière en pourcentage.
• Question 5 : L'objectif est de synthétiser les résultats en rédigeant une phrase correcte qui aurait pu figurer dans le bulletin municipal, démontrant une bonne communication des résultats mathématiques.

Exercice 2 : Propriétés et dérivées (8 points)

Cet exercice est le cœur technique du contrôle. Il vise à évaluer la maîtrise des règles de calcul avec la fonction exponentielle et des techniques de dérivation qui lui sont associées.

• Question 1 : Simplification d'une expression algébrique avec des exponentielles : \( A = \frac{e^{3x} \times e^{-x}}{e^x} \). La résolution nécessite l'application des règles \( e^a \times e^b = e^{a+b} \) et \( \frac{e^a}{e^b} = e^{a-b} \).
• Question 2 : Calcul de dérivées fondamentales. D'abord celle de \( f(x) = e^{3x} \), puis celle de \( g(x) = e^{-2x} \), deux fonctions composées simples qui font appel à la formule \( (e^u)' = u'e^u \).
• Question 3 : Application de la formule de dérivation d'un produit \( (uv)' = u'v + uv' \) sur la fonction \( h(x) = x e^x \).
• Question 4 : Une étude de fonction complète. Il faut dériver la fonction \( k(x) = (2x + 1) e^{-x} \), ce qui combine la dérivation d'un produit et d'une composée. Ensuite, l'étude du signe de la dérivée \( k'(x) \) est requise pour en déduire le tableau de variations complet de la fonction \(k\).

Exercice 3 : QCM (6 points)

Ce dernier exercice est un Questionnaire à Choix Multiples où chaque réponse doit être justifiée. Il permet de vérifier rapidement la compréhension de points clés du cours.

• Question 1 : Vérification de la connaissance de la relation fonctionnelle de l'exponentielle : \( e^x \times e^y = e^{x+y} \).
• Question 2 : Détermination du sens de variation de la fonction \( f(x) = -3 \times 0{,}8^x \). Comme \( 0 < 0{,}8 < 1 \), la fonction \( x \mapsto 0{,}8^x \) est décroissante, et la multiplication par \( -3 < 0 \) inverse le sens de variation : \(f\) est croissante.
• Question 3 : Détermination du sens de variation de la fonction \( x \mapsto e^{-2x} \) sur \( \mathbb{R} \). La justification peut se faire en étudiant le signe de la dérivée ou en utilisant les propriétés de composition des fonctions.

En résumé, ce sujet de maths pour Terminale STI2D est un excellent test pour s'assurer d'avoir bien compris le chapitre sur la fonction exponentielle, de ses propriétés algébriques à son étude via la dérivation, sans oublier ses applications concrètes.