7. Calculer le pourcentage d'évolution globale d'évolutions successives

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir les taux d'évolution de succès. On vous raconte une histoire de Jules qui fait des économies. Ses économies vont augmenter de 3 % par an les trois premières années, puis diminuer de 5%. On vous demande de combien elles vont augmenter en tout.

Comprendre le problème

Il faut comprendre que dans ces exercices, ce qu'on vous demande de faire, c'est de calculer le taux de variation totale sur une transformation qui a lieu en plusieurs étapes. Donc, faisons un petit chemin. Jules va poser son argent. Au bout de la première année, à la fin de la première année, il y aura eu une augmentation de 3 %. La deuxième année, il va se passer exactement la même chose, une augmentation de 3%, et pareil pour la troisième année, +3 %. Là où ça va se corser, c'est que la quatrième année, il va avoir une baisse de 5%. La question qu'on se pose, c'est finalement, est-ce qu'il n'y a pas un taux qui correspond à la transformation totale ? Combien de pourcentage est-ce que ça a augmenté si on prend les quatre années ensemble ?

Calcul du taux de variation

Comment on va faire ça ? On va le faire en deux étapes. La première étape, on va passer chacun de ces taux d'augmentation en coefficient multiplicateur. Donc, augmenter de 3%, c'est comme finalement multiplier par 1,03. Quand je diminue de 5 % en passant de la troisième à la quatrième année, est-ce que je multiplie aussi par 1,03 ? Évidemment non, quand je baisse de 5%, mon coefficient multiplicateur, ça va être fois 0,95. Une fois qu'on aura fait ça, on va pouvoir calculer le coefficient multiplicateur global, c'est-à-dire ce qui m'a amené d'ici à ici, et on va le faire en multipliant tous les coefficients multiplicateurs entre eux. Donc on va faire \(1,03 \times 1,03 \times 1,03 \times 0,95\). Une fois qu'on aura fait ça, on aura le coefficient multiplicateur global. Et une fois qu'on a le coefficient multiplicateur, on peut transformer ce coefficient multiplicateur en taux de variation pour répondre à la question. On calcule, on fait à la calculatrice, et on obtient \(1,0308\). Donc, notre coefficient multiplicateur, c'est \(1,0308\). À quel taux de variation cela correspond-il ? Je vous rappelle la formule qui s'affiche : pour avoir le taux de variation, mon coefficient multiplicateur, c'est \(1 + \text{taux de variation}\). Ça veut dire que mon taux de variation en décimales, c'est \(0,0308\). Donc, ça veut dire que mon taux de variation en pourcentage, c'est \(0,0308 \times 100\), donc mon taux, c'est 3,08%. Donc, finalement, mon augmentation totale en pourcentage, c'est 3,08%.

Conclusion

Concrètement, quand vous avez des évolutions successives, vous allez d'abord transformer les taux d'évolution en coefficient multiplicateur, puis vous allez les multiplier ensemble pour trouver le coefficient multiplicateur global. Et une fois que vous aurez ce coefficient multiplicateur global, vous allez en déduire le taux de variation en utilisant la formule que le coefficient multiplicateur, c'est \(1 + \text{taux de variation}\). On vous a mis des exercices où vous allez l'avoir sous forme de texte, comme ça, vous allez l'avoir sous forme de tableau. Vous allez voir, vous aurez la valeur ici et on vous demandera la valeur là, et ainsi de suite. Ça va rentrer, entraînez-vous, faites les exercices, vous êtes des champions.