Obtenez une analyse détaillée et la correction complète de ce sujet de Bac Blanc de mathématiques, conçu pour les élèves de Terminale STI2D. Ce contrôle de 2 heures, noté sur 20, balaye des chapitres essentiels du programme : les suites numériques, les fonctions logarithme et exponentielle, la composition de fonctions et les études de fonctions complètes. Idéal pour s'entraîner dans les conditions de l'examen et maîtriser les compétences clés.

Ce sujet de maths est divisé en quatre exercices indépendants :

• Exercice 1 : Un exercice varié sur la composition de fonctions, la résolution d'équations avec logarithmes et exponentielles, et l'étude d'une fonction exponentielle.
• Exercice 2 : Un problème concret sur la comparaison de deux modèles de croissance, modélisés par une suite arithmétique et une suite géométrique.
• Exercice 3 : Un problème d'optimisation classique sur la minimisation de la surface d'un cylindre.
• Exercice 4 : L'étude d'un modèle physique (chauffe d'un fer à souder) utilisant une fonction exponentielle.

Exercice 1 : Composées, logarithmes et ordres de grandeur

Cet exercice teste vos connaissances sur plusieurs types de fonctions.

• Question 1 : On étudie la fonction \( f(x) = \frac{1}{x^2+4} \). Il faut d'abord la décomposer en \( v \circ u \), en identifiant \( u(x) = x^2+4 \) et \( v(x) = \frac{1}{x} \) (fonction inverse). Ensuite, on utilise la formule de dérivation des fonctions composées \( (v \circ u)' = u' \cdot (v' \circ u) \) pour trouver la dérivée \( f'(x) = \frac{-2x}{(x^2+4)^2} \). L'étude du signe de cette dérivée permet de dresser le tableau de variation de \( f \).
• Question 2 : Cette question porte sur la résolution d'équations. D'abord, une équation logarithmique \( 2\ln(x) + \ln(3) = \ln(48) \), qui se résout en utilisant les propriétés \( n\ln(a) = \ln(a^n) \) et \( \ln(a)+\ln(b) = \ln(ab) \). Puis, une équation exponentielle \( 3e^{-0,2x} = 0,6 \), qui demande d'isoler le terme exponentiel avant de passer au logarithme népérien pour trouver \( x \).
• Question 3 : Il s'agit d'une étude de fonction complète pour \( g(x) = (2x+1)e^{-x} \) sur \( [0; +\infty[ \). On calcule sa dérivée \( g'(x) \) en utilisant la formule de dérivation d'un produit, puis on étudie son signe pour déterminer les variations de \( g \) et trouver son maximum. La question se termine par un calcul de limite en \( +\infty \) en utilisant la croissance comparée.
• Question 4 : Une application du logarithme décimal pour déterminer le nombre de chiffres d'un très grand nombre, \( 2^{128} \).

Exercice 2 : Le plan de plantation d'arbres d'une métropole

Ce problème concret aborde en profondeur les suites arithmétiques et géométriques.

• Programme A : Modélisé par une suite arithmétique \( (u_n) \) de premier terme \( u_0 = 500 \) et de raison \( r=80 \).
• Programme B : Modélisé par une suite géométrique \( (v_n) \) de premier terme \( v_0 = 400 \) et de raison \( q=1,15 \).
• Questions 1 et 2 : Il faut d'abord calculer les premiers termes des suites, puis identifier leur nature et donner leur forme explicite : \( u_n = 500 + 80n \) et \( v_n = 400 \times 1,15^n \).
• Question 3 : On utilise la calculatrice pour trouver le premier rang \( n \) à partir duquel le programme B dépasse le programme A, c'est-à-dire résoudre l'inéquation \( v_n > u_n \).
• Question 4 : Cette question est consacrée au calcul de la somme des termes. Pour la suite arithmétique, on utilise la formule de la somme des 10 premiers termes. Pour la suite géométrique, on doit montrer et utiliser la formule \( S = v_0 \times \frac{1-q^{10}}{1-q} \).
• Question 5 : On complète un algorithme en Python qui calcule la somme des termes de la suite géométrique, ce qui permet de vérifier le résultat précédent.
• Question 6 : On résout l'inéquation \( v_n > 2000 \) en utilisant le logarithme népérien pour déterminer l'année où un certain seuil de plantation est dépassé.

Exercice 3 : La forme d'un ballon d'eau chaude

Cet exercice est un problème d'optimisation qui s'appuie sur une étude de fonction.

• Question 1 : À partir du volume constant d'un cylindre \( V = \pi r^2 h = 0,2 \), on exprime la hauteur \( h \) en fonction du rayon \( r \). On injecte cette expression dans la formule de la surface totale \( S = 2\pi r^2 + 2\pi rh \) pour obtenir la fonction à optimiser \( S(r) = 2\pi r^2 + \frac{0,4}{r} \).
• Questions 2 et 3 : On dérive la fonction \( S(r) \) pour obtenir \( S'(r) = \frac{4\pi r^3 - 0,4}{r^2} \). L'étude du signe de cette dérivée est cruciale : on montre qu'elle est positive si et seulement si \( r > r_0 \) où \( r_0 \) est la valeur qui annule la dérivée. Ceci permet de construire le tableau de variation de \( S \).
• Question 4 : Le tableau de variation révèle un minimum (extremum) pour la surface en \( r=r_0 \). On calcule cette surface minimale et la hauteur correspondante.
• Question 5 : On compare les dimensions optimales avec un modèle commercial pour analyser les choix des fabricants, en calculant un pourcentage d'augmentation de surface.

Exercice 4 : La mise en chauffe d'un fer à souder

Le dernier exercice modélise une situation physique avec la fonction exponentielle.

• La température est donnée par la fonction \( T(t) = 350 - 330e^{-0,05t} \).
• Questions 1 et 2 : On commence par calculer la température initiale \( T(0) \) et on interprète le résultat. Puis on détermine la limite de \( T(t) \) en \( +\infty \), qui correspond à la température maximale que le fer peut atteindre.
• Question 3 : On calcule la dérivée \( T'(t) \) et on étudie son signe pour en déduire que la fonction \( T \) est strictement croissante, ce qui est cohérent avec la mise en chauffe.
• Question 4 : Un point classique est le calcul de l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0, d'équation \( y = 16,5t + 20 \).
• Question 5 : Enfin, on résout un problème concret : déterminer le temps nécessaire pour que la température atteigne 340°C. Cela revient à résoudre l'inéquation \( T(t) \ge 340 \), qui est une inéquation avec exponentielle.