5. Dérivée de produits de fonctions

Introduction

Allons-y, mes amis, nous allons dériver un produit de fonctions. Prenons un exemple : \(f(x) = (x + 2)(x + 3)\). Ce que certains d'entre vous pourraient être tentés de faire, surtout si vous n'avez pas fait les exercices qui sont en dessous, c'est de dire : "C'est simple, pour dériver \(f(x) = (x + 2)(x + 3)\), je dérive \(x + 2\) et je dérive \(x + 3\), c'est \(1 \times 1 = 1\), et voilà, je rentre chez moi." Non, ne faites pas ça. Pourquoi ? Parce que, comme cela s'affiche à droite, la dérivée d'un produit de fonctions n'est surtout pas le produit des dérivées. Donc, ce n'est surtout pas \(u'(x)v'(x)\). Quand vous dérivez, cela donne \(u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\). Cette formule, vous allez l'oublier, la réapprendre, l'oublier, la réapprendre, jusqu'à ce que cela soit bien ancré, notamment grâce aux exercices en dessous.

Application de la formule

Alors, comment s'y prendre pour faire cela proprement ? Eh bien, ce n'est pas compliqué. Nous avons \(u(x) = x + 2\) et \(v(x) = x + 3\). Les dérivées sont \(u'(x) = 1\) et \(v'(x) = 1\). Maintenant, je montre aux professeurs que j'ai bien identifié que \(f(x) = u(x)v(x)\). Donc, c'est bon, j'ai identifié que \(f(x) = u(x)v(x)\). Je montre que je connais la formule, donc \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\). Et là seulement, je remplace. Donc, \(f'(x) = 1 \times (x + 3) + (x + 2) \times 1\). Vous pensez que c'est fini, mais il faut nettoyer un peu tout cela. Les \(1\) ne servent à rien, il me reste \(x + 3 + x + 2\), cela me fait \(2x + 5\). J'encadre et je mets un point. C'est aussi simple que cela, mais il faut le faire proprement, notamment en montrant bien que vous avez les deux dérivées, que vous reconnaissez que \(f(x) = u(x)v(x)\), que vous connaissez la formule \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\), et une fois que vous avez dit tout cela, vous pouvez appliquer la formule.

Un autre exemple

Alors, on continue. Ici, je vous donne un autre exemple. Notre but est de dériver \(f(x) = x^2 + x\). Donc, \(u(x) = x^2\) et \(v(x) = x\). Les dérivées sont \(u'(x) = 2x\) et \(v'(x) = 1\). Donc, \(u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x \times x + x^2 \times 1 = 2x^2 + x^2\). Je montre que j'ai reconnu la formule \(f(x) = u(x)v(x)\), je montre que je connais la formule \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\), et seulement maintenant je peux remplacer. Donc, \(f'(x) = 2x^2 + x^2\). Je nettoie : \(f'(x) = 3x^2 + x\). Et comme je veux bien montrer mon résultat à mon professeur, je l'encadre pour qu'il le voit tout de suite. Et c'est terminé, à vous de jouer maintenant.