Introduction
Allez les amis, on est parti pour étudier le signe d'une fonction exponentielle. Vous allez voir, ça prend trois minutes, on s'y met de suite.
Propriétés de la fonction exponentielle
De manière générale, ce qu'il y a de génial avec l'exponentielle, c'est que, vu qu'elle a cette allure là, elle est toujours strictement positive, quel que soit ce que vous mettiez devant. Avec \(3x\), elle sera positive, avec \(-3x + 1\), ça aurait été positive aussi, avec \(-x\), c'est positif, avec \(x^0\), c'est positif, avec une racine, c'est positif. Bref, quel que soit ce que j'ai à l'intérieur de mon exponentielle, la fonction exponentielle de \(3x\) elle sera toujours positive.
Étude du signe d'une fonction
Du coup, quand vous vous retrouvez face à une question comme ça, évidemment, pour étudier le signe d'une fonction \(f\) où je remarque que j'ai un produit, c'est à dire une fonction \(x = g \cdot h\), on va faire un tableau de signes avec une première ligne qui correspond à la première fonction, une deuxième ligne qui correspond à la deuxième fonction et une troisième ligne qui sera la synthèse qu'on calcule en faisant le produit des signes.
Donc allons-y pour la première ligne. Vu qu'on doit l'étudier de \(-\infty\) jusqu'à \(+\infty\), on va se demander : cette fonction \(5x + 2\), quel est son signe entre \(-\infty\) et \(+\infty\) ? Si c'était un polynôme du second degré, vous calculeriez le delta, les deux racines, vous mettriez une racine à \(0\), et le signe à l'extérieur des racines. Mais ici, c'est plus simple que ça. On a une fonction affine, on sait qu'une fonction affine qui s'écrit \(ax + b\) a cet état et elle vaudra \(0\) ici en \(-b/a\). Donc moi, je sais que ici je vais avoir \(-b\), c'est à dire \(-2/5\). Je sais que pour \(-2/5\), cette fonction \(5x + 2\) elle vaudra \(0\). Je sais d'autre part que \(5x\) est une fonction affine. \(5\) c'est quoi ? C'est son coefficient directeur. Son coefficient directeur, il est positif ou négatif ? \(5\) c'est positif. Si une fonction affine a son coefficient directeur qui est positif, ça veut dire que cette fonction affine est croissante. Si elle est croissante, ça veut dire qu'avant de valoir \(0\) en \(-2/5\), elle est négative et ensuite elle va être positive.
Pour l'exponentielle de \(3x + 1\), c'est le truc le plus facile du monde. L'exponentielle de \(3x + 1\), de la même manière que l'exponentielle de \(-5x + 2\) ou l'exponentielle de n'importe quoi, c'est toujours strictement positif.
Je peux faire ma dernière ligne avec le produit des signes. Donc je sais qu'elle vaut \(0\) ici parce qu'en \(-2/5\), \(5x + 2\) vaut \(0\) et l'exponentielle est positive. \(0\) pour un truc positif, ça me fait \(0\). \(f\) est négative par positif, ça me fait négatif. Et positif par positif, ça me fait positif. J'ai étudié le signe de \(f\) : de \(-\infty\) jusqu'à \(-2/5\), il est négatif et de \(-2/5\) jusqu'à \(+\infty\), il est positif. C'est tout ce qu'on vous demande d'être capable de faire. On a mis des exercices en dessous pour vous entraîner.