Découvrez le corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale STI2D. Ce sujet de 2 heures, avec calculatrice autorisée, porte sur les chapitres fondamentaux de l'Intégration et de la Composition de fonctions. C'est un excellent support pour s'entraîner et maîtriser les compétences clés du programme, telles que l'étude de fonctions, le calcul de primitives, l'utilisation des intégrales pour le calcul de distances et de valeurs moyennes, les méthodes d'approximation d'une intégrale, ainsi que la reconnaissance de primitives de fonctions composées.

Ce sujet de maths est décomposé en trois exercices progressifs, balayant l'ensemble des savoir-faire attendus pour l'évaluation.

Exercice 1 : Le démarrage d'une rame de métro (10 points)

Cet exercice est une application concrète de l'étude de fonction et du calcul intégral à un problème de cinématique. On modélise la vitesse d'une rame de métro automatique, pendant la première minute après son départ, par la fonction rationnelle `v(t) = \frac{16t}{t+12}` sur l'intervalle de temps `[0 ; 60]` secondes.

• Partie A : La vitesse (4 points)
  La première partie se concentre sur l'analyse du mouvement.
  • Valeurs clés : la rame part à l'arrêt, `v(0) = 0`, et atteint `v(60) = \frac{40}{3} \approx 13{,}33` m/s, soit 48 km/h.
  • Forme réduite et dérivée : on vérifie que `v(t) = 16 - \frac{192}{t+12}`, puis on montre que `v'(t) = \frac{192}{(t+12)^2}`, strictement positive : la vitesse est strictement croissante sur `[0 ; 60]`.
  • Confort des voyageurs : l'accélération `v'(t)` est maximale au départ, où elle vaut `\frac{4}{3} \approx 1{,}33` m/s², sous la limite de 1,4 m/s² imposée par l'exploitant. L'exigence est donc respectée pendant toute la première minute.
  • Esprit critique : le constructeur annonce que la rame atteint 90 % de 16 m/s, soit 14,4 m/s, en moins d'une minute. La résolution de `v(t) \geqslant 14{,}4` donne `t \geqslant 108` s : le modèle ne confirme pas l'annonce.
• Partie B : La distance parcourue (6 points)
  La seconde partie utilise le calcul intégral, la distance parcourue pendant les `x` premières secondes étant `D(x) = \int_{0}^{x} v(t) dt`.
  • Sens de variation : sans calcul, `D'(x) = v(x) \geqslant 0`, donc `D` est croissante.
  • Primitive et logarithme : à l'aide de la forme réduite et de la primitive `\ln(t+12)` de `\frac{1}{t+12}` (forme `\frac{u'}{u}`), on établit `D(x) = 16x - 192\ln\left(\frac{x+12}{12}\right)`.
  • Distance et aire : la distance parcourue en une minute vaut `D(60) = 960 - 192\ln 6 \approx 616` m ; elle se lit sur le graphique comme l'aire sous la courbe de `v`.
  • Valeur moyenne : la vitesse moyenne pendant la première minute est `16 - 3{,}2\ln 6 \approx 10{,}27` m/s, soit environ 37 km/h.
  • Résolution à la calculatrice : un signal est placé à 400 m du quai. Comme `D(43) \approx 395{,}7` et `D(44) \approx 408{,}2`, la rame le franchit entre 43 et 44 secondes.

Exercice 2 : Approcher π par des rectangles, puis au hasard (6 points)

Cet exercice aborde le concept de l'intégrale sous un angle numérique. L'objectif est d'approcher la valeur de `\int_{0}^{1} \frac{4}{1+x^2} dx = \pi` sans utiliser de primitive, puisque aucune primitive de cette fonction ne figure au programme. Deux scripts Python sont fournis pour illustrer les algorithmes.

• La méthode des rectangles : pour `n = 2`, on retrouve à la main la valeur affichée par le script, `0{,}5 \times 4 + 0{,}5 \times 3{,}2 = 3{,}6`, en identifiant la largeur et la hauteur de chaque rectangle.
• Approximation par excès : la fonction `f(x) = \frac{4}{1+x^2}` étant décroissante sur `[0 ; 1]`, la hauteur prise à l'extrémité gauche est la plus grande valeur de `f` sur chaque intervalle ; toutes les valeurs affichées (3,6 ; 3,3812 ; 3,2399 ; 3,1516) sont donc supérieures à `\pi`.
• Modification de l'algorithme : en prenant la hauteur à l'extrémité droite, le script calcule une approximation par défaut, 3,1316 pour `n = 100`. On en déduit l'encadrement `3{,}131 < \pi < 3{,}152`.
• La méthode de Monte-Carlo : on tire au hasard des points dans le rectangle `[0 ; 1] \times [0 ; 4]`, d'aire 4, et l'on compte ceux qui tombent sous la courbe. La proportion obtenue, multipliée par 4, approche l'aire sous la courbe, donc `\pi`.
• Comparaison des deux méthodes : les résultats de Monte-Carlo fluctuent d'une exécution à l'autre, puisque les points sont tirés au hasard. La méthode des rectangles est ici la plus sûre : elle fournit un encadrement certain de `\pi`, alors que Monte-Carlo ne garantit rien sur l'erreur commise. Cet exercice permet de bien comprendre le lien entre l'intégrale, l'aire sous la courbe et les méthodes d'approximation.

Exercice 3 : Quatre intégrales de fonctions composées (4 points)

Ce dernier exercice, plus court, est un focus sur le chapitre de Composition de fonctions appliqué aux primitives. Pour chaque intégrale, il s'agit de reconnaître la forme de la fonction en précisant la fonction `u` utilisée, d'en déterminer une primitive, puis de donner la valeur exacte de l'intégrale.

• Forme `u'e^u` : une primitive de `2x e^{x^2}` est `e^{x^2}`, d'où `\int_{0}^{1} 2x e^{x^2} dx = e - 1`.
• Forme `u'u^n` : avec `u(x) = 3x+1`, une primitive de `9(3x+1)^2` est `(3x+1)^3`, d'où `\int_{0}^{1} 9(3x+1)^2 dx = 4^3 - 1^3 = 63`.
• Forme `\frac{u'}{u}` : avec `u(x) = x^2+1`, strictement positive, une primitive de `\frac{2x}{x^2+1}` est `\ln(x^2+1)`, d'où une intégrale égale à `\ln 2`.
• Fonction sinus composée : une primitive de `\sin\left(\frac{x}{2}\right)` est `-2\cos\left(\frac{x}{2}\right)`, d'où `\int_{0}^{\pi} \sin\left(\frac{x}{2}\right) dx = 2`.

En somme, ce contrôle corrigé est un excellent outil de révision pour tout élève de Terminale STI2D souhaitant consolider ses connaissances sur les primitives, les intégrales et l'étude de fonctions.