Découvrez le corrigé complet d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale STI2D. Ce sujet, d'une durée de 2 heures, porte sur deux chapitres essentiels du programme : les nombres complexes, avec un accent sur la forme exponentielle, et le calcul d'intégrales. Ce document est une ressource idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner, réviser et comprendre en profondeur les méthodes de résolution attendues. Chaque exercice est analysé et corrigé pas à pas, mettant en lumière les compétences clés à maîtriser.

Ce sujet de maths aborde des applications concrètes, liant les outils mathématiques à des problématiques issues de la physique et de la technologie, ce qui est particulièrement pertinent pour la filière STI2D.

Exercice 1 : Deux documents qui ne disent pas la même chose

Cet exercice est une mise en situation pratique qui utilise les nombres complexes pour modéliser le mouvement d'un bras robotisé. L'objectif est de confronter un modèle théorique (une note du service méthodes) à des mesures réelles (un relevé d'atelier) afin de détecter une éventuelle anomalie. C'est un excellent exemple de l'utilité des nombres complexes en ingénierie.

• Question 1 : La première étape consiste à convertir l'affixe du point de départ A, donnée sous forme exponentielle \( z_A = 4e^{i\frac{\pi}{3}} \), en sa forme algébrique \( a+ib \). Il faut ensuite comparer les coordonnées obtenues (partie réelle et partie imaginaire) avec les mesures de l'atelier pour vérifier leur compatibilité. Cela demande de maîtriser la relation entre les formes exponentielle, trigonométrique et algébrique.
• Question 2 : À partir du modèle théorique, on doit déterminer l'affixe \( z_B \) du point d'arrivée B. Le mouvement est une rotation de centre O et d'angle \( \frac{2\pi}{3} \). Le calcul se fait très efficacement en utilisant les propriétés de la forme exponentielle : \( z_B = z_A \times e^{i\frac{2\pi}{3}} \). Il faut ensuite donner le résultat sous forme exponentielle et algébrique.
• Question 3 : Il s'agit de comparer l'affixe \( z_B \) calculée à la question précédente avec les coordonnées du point B relevées par l'atelier, afin de déterminer si le modèle théorique est correct.
• Question 4 : Une nouvelle affixe pour le point B, \( z_B' = -2\sqrt{3} - 2i \), est fournie, correspondant à la position réellement observée. L'enjeu est de calculer le rapport \( \frac{z_B'}{z_A} \). Le module de ce quotient donne le rapport des distances au centre, et son argument donne l'angle de la rotation réelle. C'est un test sur la capacité à manipuler les divisions de complexes sous forme exponentielle et à interpréter géométriquement le résultat.
• Question 5 : La dernière question est une question de synthèse où il faut rédiger une conclusion claire pour l'atelier, expliquant quel document est en défaut et quelle est la nature précise de l'erreur (par exemple, un angle de rotation incorrect).

Exercice 2 : La puissance d'un radiateur alimenté en alternatif

Cet exercice fait le lien entre les fonctions trigonométriques, la physique (électricité) et les outils d'analyse de fonction. Il s'intéresse à la puissance instantanée d'un radiateur, qui varie dans le temps.

• Question 1 : On demande de démontrer une formule de linéarisation fondamentale : \( \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \). Cette formule permet de transformer un carré de cosinus en une expression sans puissance, plus simple à analyser ou à intégrer. La démonstration peut se faire via les formules de duplication ou, de manière plus élégante, en utilisant les formules d'Euler pour les nombres complexes.
• Question 2 : L'objectif est d'appliquer cette formule pour simplifier l'expression de la puissance \( p(t) = R \times (i(t))^2 \). En remplaçant \( i(t) \) par son expression \( 4\cos(100\pi t) \) et en utilisant la linéarisation, on obtient une fonction de la forme \( p(t) = A + B\cos(\omega t) \).
• Question 3 : Une fois l'expression de \( p(t) \) simplifiée, il faut étudier ses variations. On cherche la valeur maximale et la valeur minimale de la puissance sur un intervalle de temps donné, en se basant sur les extrema de la fonction cosinus.
• Question 4 : Cette question aborde la notion de période d'une fonction trigonométrique. Il faut montrer que la période de la puissance est la moitié de celle du courant, et interpréter ce résultat physiquement.
• Question 5 : La dernière question introduit le concept de valeur moyenne (ou de composante continue). La puissance oscille autour d'une valeur moyenne, qui correspond à la puissance efficace. Il faut calculer cette valeur et la relier à la puissance qu'dissiperait un courant continu équivalent.

Exercice 3 : Une aire qui vaut exactement la moitié

Le dernier exercice est un problème classique d'application du calcul intégral pour déterminer une aire. Il réinvestit les techniques de linéarisation vues dans l'exercice précédent.

• Question 1 : Similaire à l'exercice 2, il faut ici démontrer la formule de linéarisation pour le sinus : \( \sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \). Cela permet de transformer la fonction \( f(t) = \sin^2(\pi t) \) en une forme directement intégrable.
• Question 2 : La compétence centrale ici est la recherche de primitives. Il faut déterminer une primitive de la fonction \( f(t) \) sous sa forme linéarisée. Cela fait appel aux primitives des fonctions usuelles et des fonctions cosinus.
• Question 3 : Il s'agit de calculer l'intégrale définie \( \int_0^1 f(t) dt \). Ce calcul, réalisé à l'aide de la primitive trouvée, donne la valeur exacte de l'aire sous la courbe de \( f \) entre 0 et 1.
• Question 4 : Cette question demande une interprétation graphique du résultat. L'aire calculée est comparée à l'aire d'un rectangle simple tracé sur la figure, ce qui permet de donner un sens visuel et intuitif à la valeur de l'intégrale. Cela rejoint la notion de valeur moyenne d'une fonction.
• Question 5 : On calcule une autre intégrale, cette fois sur l'intervalle \( [0, 0.5] \), pour explorer les propriétés de symétrie de la fonction et de l'aire qu'elle délimite.

Mots-clés: Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale STI2D, nombres complexes, forme exponentielle, intégrales, calcul d'aire, primitives, fonction trigonométrique, linéarisation, annales bac sti2d.