Introduction
Allez les amis, on est parti pour le premier coup de calcul qu'on va faire sur les intégrales : encadrer la valeur d'une intégrale quand on vous a donné une représentation graphique. On se fait ça tout de suite. Alors, retenez bien que quand la fonction qu'on étudie est positive, c'est-à-dire quand cette fonction est au-dessus de 0, on peut dire qu'une intégrale, c'est une aire. On peut même dire plus précisément que l'intégrale entre \(A\) et \(B\) de \(f(x)dx\) c'est l'aire contenue entre la courbe représentative de la fonction, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équation \(x = a\) et \(x = b\).
Explication détaillée
Du chinois ? On se reprend ça tranquille. L'intégrale entre 1 et 5 de \(f(x)dx\) c'est l'aire qui est contenue entre la représentation de \(f\), c'est-à-dire cette courbe là, l'axe des abscisses (donc déjà c'est une aire qui va être quelque part par là) entre ces deux trucs : la représentation graphique de \(f\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x = 1\) (c'est-à-dire cette droite là) et \(x = 5\) (c'est-à-dire cette droite là). Donc l'aire qu'on vous demande d'encadrer, c'est précisément cet aire qui est ici.
Technique des escaliers
Comment on va l'encadrer ? Mais on va faire la technique des escaliers. On va dire : moi, je connais une aire qui est clairement en dessous, c'est l'aire où on fait les chemins avec des carreaux entiers, genre ça. Ça, je sais que cet aire là, elle est plus petite que l'aire sous ma courbe. Et inversement, je sais que cette aire là, elle est plus grande. Donc je vais tout simplement compter les carreaux. Je sais que mon aire, donc l'intégrale entre 1 et 5 de \(f(x)dx\), elle est comprise entre l'aire en rouge au-dessus (donc un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, donc elle est plus petite que 9) et plus grande que celle en dessous (c'est-à-dire un, deux, trois, quatre, donc plus petite que quatre). Là, on est sur un gros encadrement, il y a un écart de 5 entre les deux.
Il y a certains exercices où on va vous demander de l'encadrer par deux entiers consécutifs. Donc, avec un maillage fin de carreaux et une fonction qui s'y prête bien, on peut arriver à avoir qu'un seul entier de différence entre les deux. On vous a mis des petits exercices en dessous avec des représentations graphiques faciles. Retenez que l'intégrale, dans le cas d'une fonction positive, c'est l'aire qui est en dessous. Ça ne serait pas du tout le cas si cette fonction descendait par exemple ici et qu'on voudrait avoir une intégrale là. Faites les exercices, à vous de jouer, vous êtes des champions !