Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir en quoi le calcul intégral peut nous permettre de calculer des aires à certaines conditions. On se fait ça tout de suite.
Calcul de l'intégrale
Ensuite, j'écris que pour calculer cette intégrale, j'ai juste à trouver une primitive, n'importe laquelle, et à la calculer entre \(A\) et \(B\). On respecte l'ordre \(B - A\), et ensuite on applique cette primitive en \(B\) et on y enlève la primitive calculée en \(A\). Tout ceci, c'est juste de la poésie. Là, vous dites que l'aire vaut, vous donnez vos bornes, vous donnez votre fonction, vous donnez votre variable. Cette étape, certains la font même sauter. Tout ce qu'elle veut dire, c'est que vous connaissez la primitive et que vous la calculez entre \(B\) et \(A\). Enfin, vous faites le calcul \(F(B) - F(A)\).
Exemple pratique
En pratique, dans notre cas, cette aire va donc être égale à l'intégrale entre \(A\) et \(B\), donc \(2\) et \(3\), de ma fonction \(x^2\). Cette intégrale, je vais la calculer en utilisant une primitive de \(x^2\), qui est \(x^3/3\). J'aurais pu aussi utiliser \(x^3/3 + 1 + 5 + 6\), peu importe. Pour finaliser le calcul, je vais appliquer cette fonction à \(3\), donc je vais calculer \(3^3/3 + 1\), auquel je vais soustraire ce qui avait en bas, donc \(2^3/3 + 1\). Vous remarquerez que ça me fait \(3^3/3 + 1 - 2^3/3 - 1\). Finalement, le \(+1\) et le \(-1\) vont se supprimer à cause du moins qui est entre les deux. Donc au final, j'aurais pu mettre \(+5, +6, +50\), peu importe, il se serait simplifié. C'est pour ça que je vous dis : n'importe laquelle de vos primitives. Et j'ai plus qu'à calculer \(3^3 - 2^3\), donc \(27 - 8\), ça nous fait \(19\). Et j'ai mon aire, c'est aussi simple que ça.
Quand la fonction est définie positive, c'est-à-dire que les valeurs de la fonction sont positives, pour calculer l'aire, vous faites juste ce calcul. On vous a mis des exercices en dessous, à vous de jouer, vous êtes des champions.