Introduction
Allez les amis, on est parti pour dériver des fonctions composées avec des fonctions puissance en terminale. C'est très simple, on se fait ça tout de suite.
Dérivation des fonctions puissance
Pour dériver des fonctions puissance, un seul réflexe : la formule qui s'applique. Là, quand vous avez une puissance \(n\), la dérivée est \(n\) fois la puissance \(n-1\). Vous multipliez l'ensemble par la dérivée de la fonction.
Prenons l'application \(f(x) = 5u^{12}\), avec \(u = 2x\). Je reconnais tout de suite que ces deux éléments forment une fonction puissance avec la fonction \(u = 2x\). Je sais que quand je dérive une puissance \(12\), sa dérivée est \(12u^{11} \times u'\).
Le problème, c'est ce \(5\). Sauf que, encore une fois, quand vous dérivez \(5x^2\), ça ne vous pose aucun problème de dire que la dérivée de \(5x^2\) est \(10x\). Et vu qu'il y a un \(5\) devant, vous allez multiplier par \(5\). Autrement dit, le \(5\) n'est pas affecté par la dérivation et on le retrouve d'ici à là, il n'a pas changé, il n'a pas été modifié.
Du coup, la dérivée de \(f(x)\) va aussi intégrer ce \(5\) qui n'aura pas été modifié : \(5 \times 12u^{11} \times u'\), c'est-à-dire \(60u^{11} \times u'\).
Exemple d'application
Si \(u = 2x\), alors \(u' = 2\). Donc, la dérivée de \(f(x)\) est \(60 \times 2x^{11} = 120x^{11}\).
La difficulté, c'est d'arriver à voir ça, que ces deux éléments forment une fonction puissance. Ça, ça vient en faisant des exercices. Ça tombe bien, des exercices, on vous en a mis une tripotée en dessous. Faites-les, ça a vraiment du bien. À vous de jouer, vous êtes des champions !