1. Fonction dérivée de polynômes

Introduction

Allez les amis, on va attaquer les règles de dérivation globale et on va voir les toutes premières lois que vous allez utiliser. C'est parti! Donc pour rappel, vous savez dériver une fonction en emploi. Donc quand je vous demande le nombre dérivé de la fonction \(f\), par exemple en trois, vous savez qu'il faut faire le taux de variation, la limite du taux de variation quand \(H\) tend vers zéro et que cette limite là va vous donner la valeur du nombre dérivé en trois.

Dérivation d'une fonction

Maintenant on va apprendre quelque chose d'autre qui consiste à dériver la fonction. Donc on va prendre une fonction, on va la dériver. On obtient une autre fonction \(f'\) et cette fonction \(f'\) va nous donner la valeur du nombre de variation en n'importe quel point. Donc par exemple, si je veux avoir la valeur du nombre dérivé en trois, j'ai juste à remplacer trois à la place de \(x\) dans l'expression de \(f'(x)\).

Exemples pratiques

Comment ça se passe en pratique? Ce sont des règles que vous allez apprendre par cœur, donc vous en avez quelques unes au tableau ici et on commence tranquillement. La première fonction \(f(x) = 3\). Donc premières lignes du tableau. Quand vous avez une constante et que vous voulez la dériver, cette constante, elle va donner zéro. Donc la fonction dérivée de \(f\) qui se note \(f'(x)\), elle vaut zéro. Pour la deuxième fonction \(f(x) = x^2\). Donc vous regardez votre tableau, quand on a une fonction \(f(x)\) qui vaut \(x^2\), la dérivée, elle vaut \(2x\). Donc la dérivée de cette fonction \(f\) qu'on va noter \(f'(x)\), elle vaut \(2x\). Maintenant, si je me demande quelle est la valeur du nombre dérivé de \(f\) en trois. Ce chiffre là, vous le trouvez en calculant \(f'(3)\). Combien il vaut? Vous n'avez pas besoin de passer par le taux de variation et la limite du taux de variation quand \(H\) tend vers zéro. Vous n'avez pas non plus besoin de passer par la représentation graphique et le coefficient directeur de la tangente. Tout ce que vous avez à faire, c'est de remplacer \(x\) par trois, donc ça fait \(2 \times 3\) et ça me fait six. Est-ce que vous voyez à quel point c'est puissant cette histoire? On continue alors j'ai \(f(x) = x^2 + 2x + 3\). Première règle de composition, quand vous avez des sommes de fonctions, par exemple cette fonction là, plus cette fonction là, plus cette fonction là. Vous n'avez pas besoin de tout dériver en une fois. Vous dérivez d'abord celle là, plus la dérivée de celle-ci, plus la dérivée de celle-là. Donc je commence avec \(x^2\), ça va me donner \(2x\), plus la dérivée de \(2x\) qui est \(2\), plus la dérivée de \(3\) qui est \(0\). Donc j'obtiens \(2x + 2\). Pour la dernière fonction \(f(x) = 2x^2 + 5x^4\). Je peux dire que ma dérivée c'est la somme des dérivées, donc je dérive \(2x^2\) pour obtenir \(4x\), puis je dérive \(5x^4\) pour obtenir \(20x^3\). Donc la dérivée de \(f\) est \(4x + 20x^3\). Ça c'est vraiment le B.A.BA des fonctions polynômes. C'est vraiment la chose la plus simple que vous êtes amené à faire. Entraînez vous jusqu'à ce que ça soit parfaitement fluide. On va bientôt avoir.