Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir comment dériver des fonctions composées avec la fonction inverse. C'est-à-dire, quand vous avez une fonction de la forme \( \frac{1}{u(2x)} \), c'est très simple. On se réfère à la formule qui s'affiche sur le côté. Quand vous avez une fonction de la forme \( \frac{1}{u(x)} \), qui est clairement le cas ici, cette fonction \( u(2x) \) pourrait être écrite comme \( \frac{1}{u(x)} \) avec \( u(x) = 2x + 1 \).
Dérivation de la fonction
Quand on a une fonction qui s'écrit \( \frac{1}{2x} \), si on veut la dériver, elle s'écrit tout simplement \( u'(2x) \) et elle vaut \( -u'(x) / u(x)^2 \). Autrement dit, j'ai juste à prendre \( u'(x) \), le dériver pour le mettre là, et j'ai ma dérivée \( u(2x)' \). Vous savez faire maintenant parce que vous l'avez vu dans la compétence juste avant. Pour dériver \( u(x)^n \), ça fait \( n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x) \). Donc, ça fait \( 2 \cdot (2x)^{2-1} \cdot 4x \), donc \( 4x \cdot 2x + 1 \). Donc, ma \( u'(x) \) c'est \( 4 \cdot (2x)^2 \), donc ma dérivée est \( -4 \cdot (2x + 1) / (2x + 1)^2 \).
Simplification de la dérivée
Sauf que si je prends \( (2x)^2 \), je mets au carré, je vous rappelle que \( a^{b^c} = a^{b \cdot c} \). Donc, ce de là et ce de là, ils vont se multiplier. Donc, ça va faire \( -4 \cdot (2x + 1) / (2x + 1)^4 \). Et si je veux faire les choses bien, je peux simplifier \( 1 - 2x \) et \( 1 - 2x \) ici, ça me fait \( -4 / (2x + 1)^3 \).
Il y a moyen de s'en sortir plus vite. En effet, quand vous avez une fonction de la forme \( \frac{1}{u(x)^n} \), ce que je vous propose, c'est de dire que votre \( u(2x) \) c'est en fait \( (2x + 1)^{-2} \). En effet, quand vous avez \( \frac{1}{u(x)^n} \), ça fait \( u(x)^{-n} \). Et du coup, on retourne sur la formule de dérivation de \( u(x)^n \), ça fait \( n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x) \). Donc, ça va faire \( -2 \cdot (2x + 1)^{-3} \cdot 4x \), ce qui donne \( -4 / (2x + 1)^3 \).
Voilà, où j'ai fait quasiment le calcul de tête et l'autre où il a fallu que je passe par des dérivées. À vous de jouer, vous êtes des champions.