7. Tableau de variations avec la fonction exponentielle

Introduction

Allons-y, les amis, nous allons aborder une compétence qui est vraiment composée quasiment uniquement de plaisir : celle de tracer le tableau de variation complet d'une fonction exponentielle composée en terminale. En général, pour essayer de régler des problèmes de convexité et de concavité, on se fait ça tout de suite. Alors, la fonction qu'on vous a donné aujourd'hui, elle est cool. Pourquoi est-elle cool ? Parce qu'il n'y a pas de \(x\) avant. Ce que je veux dire, c'est que ça aurait pu être beaucoup plus compliqué si, à la place de \(2\), vous aviez eu \(2x\).

Calcul de la dérivée

Pourquoi ? Parce que ce \(2\) qui va en gêner certains, c'est exactement le même \(2\) que quand vous avez par exemple \(2x^2\). Quand vous voulez dériver \(2x^2\), vous ne vous occupez pas des \(2\), vous remettez votre \(2\) et vous le multipliez simplement par la dérivée de \(x^2\), c'est-à-dire \(2x\). Et bien ce \(2\) là, il se comporte exactement de la même manière. C'est-à-dire que quand on va vouloir dériver cette fonction \(f(x)\), on va ignorer le \(2\), dériver tout ça et puis on va le remettre à la fin. Pourquoi veut-on dériver ? Parce que vous savez que quand on veut dresser le tableau de variation, c'est-à-dire quand on veut remplir un objet qui ressemble à celui-là, on va faire d'abord une ligne avec \(f'\), ensuite une ligne avec \(f\). On va regarder le signe de \(f'\) qui sera par exemple moins, plus, moins, plus, moins, moins et mettre les flèches correspondantes. Sauf que deux problèmes se posent : premièrement, nous n'avons pas encore calculé \(f'\) et deuxièmement, une fois qu'on aura calculé \(f'\), il faut encore trouver son signe.

Étude du signe de la dérivée

Pour étudier le signe de \(f'(x)\), je ne vais pas m'embêter, je vais juste étudier le signe du polynôme qui est ici. C'est lui qui va déterminer le signe. Comment est-ce que je fais pour étudier le signe de ce polynôme ? Eh bien, je vais faire comme d'habitude, je vais faire un petit \(\Delta\). C'est un polynôme du second degré qui vaut \(B^2 - 4AC\). Donc, \(\Delta = 4 - 4 \times 1 \times 3\), ce qui donne \(\Delta = 16\), donc \(\Delta = 4^2\). En réalité, quand on a un \(\Delta\) qui est positif, et qui en plus est un carré parfait, on est plutôt content. Mes racines \(X_1\) et \(X_2\) valent respectivement \(-2 - \sqrt{16}/2\) et \(2 + \sqrt{16}/2\), soit \(-3\) et \(1\). Donc, je suis content, j'ai mes deux racines, autrement dit les deux valeurs qui vont créer un changement de signe au niveau de \(f'(x)\), car en fait elles vont créer un changement de signe au niveau de ce polynôme. C'est \(-3\) et \(1\). Du coup, dans mon petit tableau, je sais déjà que ce qui va m'intéresser, c'est \(-3\) et \(1\), et qu'en \(-3\) et en \(1\), ce que j'ai au niveau de \(f'\) vaudra \(0\). Pourquoi ? Parce que vu que cet objet là, il vaut zéro, tout le monde vaudra zéro.

Conclusion

En terminale, quand vous faites un tableau, on veut aussi les valeurs de ce qu'il y a ici, ce qui est ici, ce qui a ici et ce qui est ici. Sans ça, votre tableau n'est pas complet et en vrai, vous loupez vraiment des informations, notamment des informations de signe. Donc, entraînez-vous, on vous en a mis plein en dessous. C'est le genre de choses qui tombent au contrôle. À vous de jouer, vous êtes des champions.