Découvrez le corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale STI2D. Ce sujet de 2 heures, avec calculatrice autorisée, porte sur les chapitres fondamentaux de l'Intégration et de la Composition de fonctions. C'est un excellent support pour s'entraîner et maîtriser les compétences clés du programme, telles que l'étude de fonctions, le calcul de primitives, l'utilisation des intégrales pour le calcul d'aires et de distances, ainsi que la reconnaissance de primitives de fonctions composées.

Ce sujet de maths est décomposé en trois exercices progressifs, balayant l'ensemble des savoir-faire attendus pour l'évaluation.

Exercice 1 : La distance parcourue par un chariot

Cet exercice est une application concrète de l'étude de fonction et du calcul intégral à un problème de cinématique. On modélise la vitesse d'un chariot par la fonction `v(t) = 0,6t^2 - 0,1t^3` sur l'intervalle de temps `[0; 6]` secondes.

• Partie A : Le mouvement
  La première partie se concentre sur l'analyse du mouvement. Il est demandé de calculer et interpréter les vitesses à des instants clés, puis de mener une étude de fonction complète.
  • Calcul de la dérivée : `v'(t) = 1,2t - 0,3t^2`. On montre ensuite sa forme factorisée `v'(t) = 0,3t(4-t)` qui facilite l'étude de signe.
  • Tableau de variation : Grâce au signe de la dérivée, on dresse le tableau de variation de la vitesse `v`. On en déduit que la vitesse est croissante sur `[0; 4]` et décroissante sur `[4; 6]`.
  • Vitesse maximale : Le tableau de variation permet d'identifier facilement la vitesse maximale atteinte par le chariot, ainsi que l'instant `t=4`s où elle est atteinte. Cette compétence sur la recherche d'extremums est fondamentale.
• Partie B : La distance
  La seconde partie utilise le calcul intégral pour déterminer la distance parcourue, rappelant que la distance est l'intégrale de la vitesse.
  • Primitive d'une fonction puissance : On détermine une primitive `V` de `v`, qui est une fonction polynomiale. `V(t) = 0,2t^3 - 0,025t^4`.
  • Calcul d'intégrale : On applique la formule `\int_{a}^{b} v(t) dt = V(b) - V(a)` pour calculer la distance parcourue sur `[0; 4]` puis sur `[0; 6]`.
  • Résolution de problème : La dernière question consiste à comparer la distance totale parcourue à la longueur de la travée pour conclure, mobilisant la capacité à interpréter un résultat mathématique dans un contexte physique.

Exercice 2 : La méthode des rectangles

Cet exercice aborde le concept de l'intégrale sous un angle numérique. L'objectif est d'approcher la valeur de `\int_{0}^{2} 3x^2 dx` sans utiliser de primitive, mais grâce à la méthode des rectangles. Un script Python est fourni pour illustrer l'algorithme.

• Compréhension d'un algorithme : Il faut analyser le code pour comprendre comment il calcule la somme des aires des rectangles (méthode des rectangles à gauche).
• Approximation de l'intégrale : En se basant sur le sens de variation de la fonction `f(x) = 3x^2` (qui est croissante sur `[0; 2]`), on explique pourquoi les valeurs obtenues sont une approximation par défaut (inférieures à la valeur exacte).
• Conjecture de limite : L'exercice amène à conjecturer que lorsque le nombre de rectangles `n` tend vers l'infini, l'approximation tend vers la valeur exacte de l'intégrale.
• Modification de l'algorithme : On réfléchit à l'impact d'une modification du script (passer à la méthode des rectangles à droite) sur l'approximation, qui deviendrait alors une approximation par excès. Cet exercice permet de bien comprendre le lien entre l'intégrale, l'aire sous la courbe et les méthodes d'approximation.

Exercice 3 : Deux primitives à reconnaître

Ce dernier exercice, plus court, est un focus sur le chapitre de Composition de fonctions appliqué aux primitives. Il s'agit de vérifier qu'une fonction donnée est bien la primitive d'une autre, puis de s'en servir pour un calcul d'intégrale.

• Primitive et fonction exponentielle : On vérifie que `G(x) = e^{x^2}` est une primitive de `g(x) = 2x e^{x^2}`. Cela nécessite de maîtriser la dérivée d'une fonction composée de la forme `e^u`, dont la dérivée est `u'e^u`. Le calcul de `\int_{0}^{1} 2x e^{x^2} dx` devient alors immédiat.
• Primitive et fonction puissance : On applique le même raisonnement en vérifiant que `H(x) = (3x+1)^3` est une primitive de `h(x) = 9(3x+1)^2`. La compétence requise est la dérivation d'une fonction de la forme `u^n`, dont la dérivée est `n \times u' \times u^{n-1}`. Le calcul de l'intégrale `\int_{0}^{1} 9(3x+1)^2 dx` en découle directement.

En somme, ce contrôle corrigé est un excellent outil de révision pour tout élève de Terminale STI2D souhaitant consolider ses connaissances sur les primitives, les intégrales et l'étude de fonctions.