Ce contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale STI2D est un sujet complet qui évalue en profondeur plusieurs chapitres clés du programme : la fonction exponentielle, la fonction logarithme, les suites numériques (arithmétiques et géométriques) et les statistiques à deux variables. Conçu pour une durée de 2 heures, ce devoir commun met l'accent sur la résolution de problèmes concrets et la modélisation mathématique, en s'appuyant sur des situations issues de la physique et de la technologie. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser avant un examen. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas dans la résolution de chaque question.

Exercice 1 : Vrai ou Faux (4 points)

Cet exercice d'introduction teste des connaissances fondamentales sur les suites et les fonctions, exigeant une justification précise pour chaque réponse.

• Affirmation 1 : Il s'agit de reconnaître la nature d'une suite. La suite \( (u_n) \) est définie par \( u_n = 3 \times 2^{n+1} \). Il faut déterminer si elle est géométrique et trouver sa raison. La manipulation de l'expression \( u_n = (3 \times 2) \times 2^n = 6 \times 2^n \) permet de l'identifier comme une suite géométrique de raison 2 et non 3.
• Affirmation 2 : Cette question porte sur la résolution d'une équation exponentielle simple : \( e^{2x+1} = 5 \). L'application de la fonction logarithme népérien est la méthode attendue pour isoler l'inconnue \( x \) et vérifier la solution proposée.
• Affirmation 3 : On étudie ici les variations d'une fonction \( f(x) = x + \frac{4}{x} \) sur l'intervalle \( [1; 3] \). La démarche consiste à calculer la dérivée \( f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} \), puis à étudier son signe pour en déduire le sens de variation de la fonction \( f \). Cela mobilise les compétences sur la dérivation des fonctions usuelles (inverse) et l'étude de signe d'un polynôme du second degré.
• Affirmation 4 : L'objectif est de trouver le maximum d'une fonction composée avec l'exponentielle, \( h(x) = e^{-x^2} \). L'étude complète de la fonction, via le calcul de sa dérivée \( h'(x) = -2x e^{-x^2} \) et l'analyse de son signe, permet de confirmer l'existence d'un maximum en \( x=0 \) et de calculer sa valeur.

Exercice 2 : La sonde d'un plancher chauffant (5 points)

Cet exercice est un problème de modélisation qui mêle statistiques et analyse de fonction. Il s'articule autour de deux documents décrivant la résistance d'une thermistance en fonction de la température.

• Question 1 & 2 : La première partie est orientée statistiques. Il faut compléter un tableau de données en calculant le logarithme des résistances (\( y_i = \ln(R_i) \)) puis utiliser la calculatrice pour déterminer l'équation de la droite d'ajustement de \( y \) en \( x \) par la méthode des moindres carrés.
• Question 3 : Le cœur du problème est de faire le lien entre le modèle physique donné par le fabricant, \( R = 10e^{Bu} \), et le modèle statistique linéaire trouvé précédemment. En appliquant le logarithme népérien au modèle physique et en effectuant un changement de variable, on montre que \( \ln(R) \) est une fonction affine de \( x = \frac{1000}{T} \). L'identification du coefficient directeur permet alors d'estimer la valeur du coefficient \( B \).
• Question 4 & 5 : Ces questions appliquent les modèles établis. Il faut calculer une résistance à une température donnée avec le modèle du fabricant, la comparer à la mesure expérimentale, puis résoudre l'équation \( 10e^{3950u} = 4,12 \) pour trouver la température affichée par le régulateur et conseiller le technicien.

Exercice 3 : Les lampes UV-C (Question ouverte, 3 points)

Cet exercice est une question ouverte où la démarche et l'argumentation sont primordiales. Il s'agit de comparer l'efficacité économique de deux modèles de lampes UV dont l'intensité lumineuse décroît de manière exponentielle au fil du temps.

• Modèle A : L'intensité est donnée par \( I_A(t) = 100e^{-0,00008t} \). Il faut calculer sa durée de vie, c'est-à-dire le temps \( t \) au bout duquel l'intensité atteint 70% de sa valeur initiale, en résolvant l'équation \( I_A(t) = 70 \).
• Modèle B : L'intensité décroît aussi exponentiellement, mais on sait seulement qu'elle est divisée par deux en 12000 heures. Il faut d'abord déterminer le coefficient de décroissance \( k \) du modèle \( I_B(t) = 100e^{-kt} \) à partir de cette information, puis calculer sa durée de vie (jusqu'à 70% d'intensité).
• Conclusion : La dernière étape consiste à comparer les deux modèles en calculant leur coût par heure de fonctionnement pour valider ou infirmer l'affirmation du responsable de la station.

Exercice 4 : La trempe d'un arbre de transmission (8 points)

Ce long exercice est une étude très complète d'un phénomène physique, le refroidissement, modélisé par une fonction exponentielle. Il est divisé en trois parties interdépendantes.

• Partie A - Le refroidissement : On étudie la fonction température \( \theta(t) = 40 + 810e^{-0,15t} \). Cela inclut le calcul de la température initiale, l'étude de ses variations (via le signe de la dérivée \( \theta'(t) \)), la détermination de sa limite en \( +\infty \) (température d'équilibre) et la résolution de l'inéquation \( \theta(t) < 200 \) pour savoir quand l'objet peut être sorti du bain.
• Partie B - La vitesse de refroidissement : Cette partie s'intéresse à la dérivée \( \theta'(t) \). On y démontre une relation entre la vitesse de refroidissement et la température, montrant que \( \theta(t) \) est solution d'une équation différentielle simple : \( \theta'(t) = -0,15(\theta(t) - 40) \). On utilise ensuite cette relation pour vérifier si le processus de trempe respecte un critère de qualité (vitesse de refroidissement minimale à une température donnée).
• Partie C - Le vieillissement de l'huile : L'usure de l'huile modifie le modèle en introduisant un coefficient \( k_n \) qui dépend du nombre de lots traités. On montre que la suite \( (k_n) \) est une suite géométrique, on exprime son terme général \( k_n \) en fonction de \( n \), puis on résout une inéquation complexe impliquant le logarithme pour déterminer le nombre maximal de lots que l'on peut traiter avant de devoir changer l'huile.