Contrôle Corrigé de Mathématiques : Composition de Fonctions (Terminale STI2D)

Découvrez le corrigé détaillé d'un sujet de contrôle de mathématiques pour les élèves de Terminale STI2D. Ce devoir porte sur le chapitre crucial de la composition de fonctions et sa dérivation. Il s'agit d'une ressource pédagogique complète pour s'entraîner et maîtriser les compétences clés relatives à l'étude de fonctions, la dérivation en chaîne, et la résolution de problèmes concrets. Ce contrôle, d'une durée d'1h30, est un excellent outil de révision pour le baccalauréat.

Exercice 1 : Quatre questions indépendantes

Cet exercice d'introduction balaye plusieurs compétences fondamentales sur la dérivation des fonctions composées. Chaque question est indépendante et permet de tester une notion précise.

• Question 1 (QCM) : Il s'agit de déterminer la dérivée de la fonction \(f(x) = (2x - 5)^4\). Cette question évalue la maîtrise de la formule de dérivation d'une fonction puissance composée, de la forme \((u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}\). La bonne réponse est \(f'(x) = 8(2x - 5)^3\).
• Question 2 : Cette question porte sur la dérivation d'une fonction trigonométrique composée, \(g(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{3})\). Il faut non seulement calculer l'expression de la dérivée \(g'(x)\), mais aussi évaluer sa valeur en un point précis, \(x = \frac{\pi}{6}\), pour tester la capacité à manipuler les valeurs remarquables du cercle trigonométrique.
• Question 3 : Un exercice d'application directe de la formule de dérivation en chaîne. À partir d'un tableau de valeurs pour une fonction \(u\) et sa dérivée \(u'\), il faut calculer la valeur du nombre dérivé de la fonction \(p(x) = (u(x))^3\) en \(x=2\). Cela nécessite d'appliquer la formule et de lire correctement les informations dans le tableau.
• Question 4 : Cette dernière question aborde la résolution d'une équation. Il faut trouver la valeur de \(x\) pour laquelle \(q(x) = \frac{1}{(2x + 1)^2}\) est égale à \(0,09\). Cela demande une manipulation algébrique pour isoler l'inconnue, en passant par la résolution d'une équation de la forme \(X^2 = A\).

Exercice 2 : Le refroidissement d'une pièce en sortie de four

Ce second exercice est un problème de modélisation complet, typique de ce qui peut être attendu en Terminale STI2D. Il met en application les outils de l'étude de fonctions dans un contexte physique de traitement thermique. La température d'une pièce est modélisée par la fonction \(T(t) = 20 + \frac{480}{(1 + 0,5 t)^2}\).

• Questions 1 et 2 : Il s'agit de vérifier la cohérence du modèle en calculant la température initiale (\(t=0\)) et la température après 3 minutes. Ce sont des calculs d'images simples pour s'approprier la fonction.
• Question 3 : Le cœur du problème : le calcul de la fonction dérivée \(T'(t)\). L'énoncé guide en suggérant de réécrire \(T(t)\) sous la forme \(T(t) = 20 + 480 (1 + 0,5t)^{-2}\), ce qui facilite l'application de la formule de dérivation d'une fonction puissance.
• Question 4 : L'étude du signe de la dérivée \(T'(t)\) permet de déterminer le sens de variation de la température. On vérifie ainsi que le modèle est physiquement cohérent (la pièce refroidit, donc la fonction doit être décroissante).
• Question 5 : Cette question demande de calculer \(T'(6)\) et surtout d'interpréter ce résultat. Le nombre dérivé représente ici la vitesse instantanée de refroidissement de la pièce à l'instant \(t=6\) minutes, exprimée en degrés Celsius par minute.
• Question 6 : On revient à la résolution d'équation en cherchant l'instant \(t\) où la température atteint 50 °C. Il faut donc résoudre l'équation \(T(t) = 50\).
• Question 7 : La dernière question ouvre sur la notion de limite. En étudiant le comportement de \(T(t)\) lorsque \(t\) tend vers l'infini, on détermine la température minimale que la pièce peut atteindre selon le modèle, et on discute de la portée et des limites de cette modélisation.

Exercice 3 : La copie d'un élève

Cet exercice original et formateur propose d'analyser le travail d'un élève, de repérer une erreur classique de dérivation et de mener à bien l'étude de fonction de manière correcte. La fonction étudiée est \(f(x) = (x^2 - 4x + 7)^3\).

• Question 1 : L'objectif est de montrer que la conclusion de l'élève ("f est croissante sur \(\mathbb{R}\)") est fausse, non pas en refaisant l'étude, mais en trouvant un contre-exemple simple par le calcul de deux images, \(f(0)\) et \(f(2)\).
• Question 2 : Il faut identifier précisément l'erreur commise par l'élève : l'oubli du facteur \(u'\) dans la dérivation de \(u^3\). On donne ensuite l'expression correcte de la dérivée \(f'(x) = 3(2x-4)(x^2-4x+7)^2\).
• Question 3 : Une étape clé pour l'étude de signe. Il est demandé de montrer que le trinôme \(x^2 - 4x + 7\) est toujours strictement positif. L'énoncé suggère d'utiliser la forme canonique, une méthode efficace pour prouver la positivité d'un polynôme du second degré.
• Question 4 : Armé de la dérivée correcte et du signe de chaque facteur, il est maintenant possible de dresser le tableau de signe de \(f'(x)\) et d'en déduire le tableau de variations complet et exact de la fonction \(f\).