Ce document propose un sujet complet de Bac Blanc de mathématiques pour le niveau Terminale Spécialité, accompagné d'une analyse détaillée des compétences requises. Ce contrôle de 4 heures est un excellent entraînement pour l'épreuve finale du baccalauréat. Il balaye une grande partie du programme, incluant la géométrie dans l'espace, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, l'étude de fonctions et les suites numériques.

Chaque exercice est conçu pour évaluer des savoir-faire spécifiques, de la maîtrise des outils de base à la capacité de mener des raisonnements complexes. Découvrez ci-dessous le détail de chaque partie du sujet.

Exercice 1 : Géométrie dans l'espace (QCM)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples en 4 questions indépendantes. Il porte sur les fondamentaux de la géométrie dans l'espace et demande une justification soignée pour chaque réponse.

• Question 1 : À partir des coordonnées de deux points A(1; 0; 3) et B(4; 1; 0), il s'agit de déterminer la bonne représentation paramétrique de la droite (AB) parmi quatre propositions. Cela implique de calculer un vecteur directeur, par exemple \( \vec{AB} = (3; 1; -3) \), et de vérifier quelle équation correspond.
• Question 2 : On introduit un troisième point C(-2; 1; -4). La question porte sur la configuration des points A, B et C. Sont-ils alignés ? Coplanaires ? Le point C est-il le milieu de [AB] ? Il faut ici tester la colinéarité des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \) pour en déduire leur position.
• Question 3 : Une droite (d) est donnée par sa représentation paramétrique. L'objectif est de vérifier si un point appartient à cette droite. Pour cela, on doit substituer les coordonnées du point dans le système d'équations et voir s'il existe une valeur unique du paramètre \( t \) qui satisfait les trois équations simultanément.
• Question 4 : On étudie la position relative de deux droites (d) et (d') définies par leurs représentations paramétriques. Il faut d'abord analyser leurs vecteurs directeurs pour déterminer si elles sont parallèles. Si ce n'est pas le cas, on cherche un point d'intersection en résolvant le système formé par leurs équations. L'absence de solution indique que les droites sont non coplanaires.

Exercice 2 : Probabilités conditionnelles et Loi binomiale

Cet exercice classique de probabilités se déroule dans le contexte d'une concession automobile. Il combine probabilités conditionnelles, loi des probabilités totales et loi binomiale.

• Question 1 : On modélise la situation à l'aide d'un arbre pondéré pour calculer la probabilité d'une intersection d'événements : "l'acheteur choisit un véhicule tout-électrique ET a la possibilité d'installer une borne". Il s'agit d'appliquer la formule \( P(E \cap B) = P(E) \times P_E(B) \).
• Question 2 : Il est demandé de démontrer la valeur d'une probabilité \( P(B) \) en utilisant la formule des probabilités totales : \( P(B) = P(E \cap B) + P(\bar{E} \cap B) \).
• Question 3 : Cette question aborde les probabilités conditionnelles "inversées". Connaissant la probabilité \( P(B) \), on cherche à calculer \( P_B(E) \), la probabilité qu'un acheteur ait choisi un véhicule électrique sachant qu'il peut installer une borne.
• Question 4 : On passe à un schéma de Bernoulli en considérant un échantillon de 20 acheteurs. On définit une variable aléatoire \( X \) comptant le nombre de succès. Il faut :
  • a. Justifier que \( X \) suit une loi binomiale et donner ses paramètres (n=20, p=P(B)).
  • b. Calculer une probabilité ponctuelle \( P(X=8) \).
  • c. Calculer une probabilité sur un intervalle \( P(X \ge 10) \).
  • d. Calculer l'espérance mathématique \( E(X) = np \).
  • e. Interpréter l'espérance dans le contexte de l'exercice pour estimer un coût moyen.

Exercice 3 : Étude de fonctions

Cet exercice se concentre sur l'analyse de deux fonctions, une polynomiale et une autre impliquant une exponentielle, sur l'intervalle \( [0; +\infty[ \).

• Partie 1 : Concerne la fonction \( f(x) = 0,06(-x^2 + 13,7x) \). Un tableau de variations est fourni. Il faut justifier la limite de la fonction en \( +\infty \) (limite d'un polynôme), justifier les variations en étudiant le signe de la dérivée \( f'(x) \), et résoudre l'équation \( f(x) = 0 \).
• Partie 2 : Concerne la fonction \( g(x) = (-0,15x + 2,2)e^{0,2x} – 2,2 \). L'étude est plus complète :
  • a. Détermination de la limite en \( +\infty \) par opérations sur les limites.
  • b. Calcul de la fonction dérivée \( g'(x) \) en utilisant la formule de dérivation d'un produit.
  • c. Étude du signe de \( g'(x) \) pour dresser le tableau de variations complet de \( g \).
  • d. Application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation \( g(x)=0 \) sur un intervalle donné.

Exercice 4 : Étude de suites numériques

Le dernier exercice porte sur l'étude de deux suites récurrentes définies par la même fonction \( f(x) = \frac{2+3x}{4+x} \).

• Partie A : On étudie la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 3 \) et \( u_{n+1} = f(u_n) \). L'analyse est guidée :
  1. Calcul des premiers termes.
  2. Étude des variations de la fonction \( f \).
  3. Démonstration par récurrence d'un encadrement de la suite et de sa monotonie (\( 1 < u_{n+1} < u_n \le 3 \)).
  4. Utilisation du théorème de la limite monotone pour prouver la convergence de \( (u_n) \), puis calcul de sa limite \( l \) en résolvant l'équation du second degré \( f(l)=l \).
• Partie B : On s'intéresse à une autre suite \( (v_n) \) avec \( v_0 = 0,1 \).
  1. On formule une conjecture sur son sens de variation et sa limite.
  2. On établit une relation de récurrence pour l'écart \( 1 - v_n \).
  3. On démontre par récurrence une inégalité : \( 0 \le 1 - v_n \le (\frac{1}{2})^n \).
  4. Finalement, on utilise le théorème des gendarmes pour conclure que la suite \( (v_n) \) converge vers 1.

En somme, ce sujet de Bac Blanc est un excellent outil de révision, testant des compétences variées et essentielles pour réussir l'épreuve de mathématiques en Terminale. Bon courage !