Découvrez notre sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour la Terminale spécialité, entièrement dédié au chapitre sur les limites de fonctions. Cette évaluation d'une heure, conçue par nos professeurs, est un excellent moyen de vous entraîner et de valider vos compétences sur l'analyse de fonctions, la dérivation et le calcul de limites. Ce document est un support pédagogique idéal pour réviser avant un examen.

Exercice 1 : Étude complète d'une fonction avec racine carrée

Le premier exercice propose une étude approfondie de la fonction $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+3}}$. À travers plusieurs questions enchaînées, vous mobiliserez un large éventail de compétences en analyse de fonction.

• Ensemble de définition : La première étape consiste à justifier rigoureusement que l'ensemble de définition de $f$ est $D_f = ]-\infty; -3[ \cup [1; +\infty[$. Pour cela, une étude de signe du quotient $\frac{x-1}{x+3}$ est nécessaire, car l'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle.
• Calcul de la dérivée : Il vous est demandé de démontrer que la fonction dérivée $f'(x)$ est égale à $\frac{2}{(x+3)^2}\sqrt{\frac{x+3}{x-1}}$. Cet exercice de dérivation complexe requiert la maîtrise de la formule de la dérivée d'une fonction composée de type $\sqrt{u(x)}$, ainsi que celle de la dérivée d'un quotient.
• Tableau de variation : À partir du signe de la dérivée $f'(x)$ que vous venez de calculer, vous devrez dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$ sur son ensemble de définition.
• Équation de la tangente : L'exercice se poursuit avec une application classique de la dérivation : la détermination de l'équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $x=-4$. Il faudra calculer $f(-4)$ et $f'(-4)$ pour appliquer la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
• Tangente passant par l'origine : Une question plus avancée, graphique puis analytique (en bonus), vous demande de trouver l'abscisse $a$ du point de la courbe où la tangente passe par l'origine. Cela se traduit par la résolution de l'équation $f(a) - a \cdot f'(a) = 0$, un excellent test de votre capacité à modéliser un problème géométrique.

Exercice 2 : Calculs de limites et de dérivées

Le second exercice est composé de trois questions indépendantes qui balayent des compétences fondamentales sur les limites et la dérivation, essentielles pour le programme de Terminale Spécialité.

• Détermination de limites : Cette partie teste votre capacité à lever des formes indéterminées et à analyser le comportement des fonctions aux bornes de leur domaine.
• a) Calcul de $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 7x + 1}{3x^3 + x^2 - 6}$. Il s'agit de la limite d'une fonction rationnelle en l'infini. La méthode attendue est la factorisation par le terme de plus haut degré pour lever l'indétermination $\frac{\infty}{\infty}$.
• b) Calcul de $\lim_{x \to -2, x<-2} \frac{3x^2 + 4x - 7}{x+2}$. Cette question porte sur les limites en un point où le dénominateur s'annule (limite infinie). Une étude du signe du dénominateur au voisinage de $-2$ est cruciale.
• c) Calcul de $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+1}{\sqrt{x}}$. Une autre forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ à résoudre, faisant intervenir une fonction racine carrée.
• Calcul de dérivées : Vous devrez dériver deux fonctions qui nécessitent l'application des règles de dérivation sur les produits et les fonctions composées.
• a) Dérivée de $f(x) = xe^{3x+1}$, qui combine la dérivée d'un produit et la dérivée d'une exponentielle composée.
• b) Dérivée de $g(x) = (\sqrt{x}-2)^4$, qui est une application directe de la formule de dérivation d'une puissance de fonction $(u^n)'$.
• Asymptotes et tableau de variation : La dernière question vous demande d'interpréter graphiquement un tableau de variation. En lisant les limites aux bornes, vous devrez identifier la présence d'une asymptote verticale et d'une asymptote horizontale à la courbe et donner leurs équations.

Ce sujet de maths constitue un entraînement complet pour maîtriser le chapitre sur les limites de fonctions et la dérivation en Terminale. Téléchargez ce contrôle corrigé pour vous préparer efficacement.