Analyse du sujet de Mathématiques - Terminale Spécialité

Ce contrôle de mathématiques de niveau Terminale Spécialité porte sur trois chapitres fondamentaux du programme : le raisonnement par récurrence, l'étude des suites numériques (limites, variations) et le dénombrement. La calculatrice étant interdite, ce sujet évalue la maîtrise des techniques de calcul et de raisonnement pur. C'est un excellent entraînement pour le baccalauréat.

Exercice 1 : Étude d'une suite (7 points)

Cet exercice se concentre sur l'étude complète d'une suite arithmético-géométrique "modifiée". La suite \( (u_n) \) est définie par \( u_0 = 1 \) et la relation de récurrence \( u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + n - 2 \). La présence du terme \( n \) la rend plus complexe qu'une suite arithmético-géométrique classique.

• Question 1 : Calcul des premiers termes \( u_1, u_2, u_3 \) pour se familiariser avec la suite.
• Question 2.a : Démonstration par récurrence d'une inégalité. Il faut prouver que pour tout entier naturel \( n \ge 4 \), on a \( u_n \ge 0 \). Une étape clé pour maîtriser la rédaction de l'initialisation, de l'hérédité et de la conclusion.
• Question 2.b : Déduction d'une autre inégalité, \( u_n \ge n - 3 \) pour \( n \ge 5 \), en s'appuyant sur le résultat précédent.
• Question 3 : Introduction d'une suite auxiliaire \( (v_n) \) définie par \( v_n = -2u_n + 3n - \frac{21}{2} \).
  • a. Démontrer que \( (v_n) \) est une suite géométrique, en déterminant sa raison et son premier terme. C'est une méthode classique pour 'linéariser' la récurrence de \( (u_n) \).
  • b. En déduire l'expression explicite de \( u_n \) en fonction de \( n \). On exprime d'abord \( v_n \) explicitement, puis on isole \( u_n \) dans la relation liant les deux suites.
  • c. Calcul de la somme des termes \( S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k \). Cette question demande de savoir calculer la somme des termes d'une suite géométrique (pour la partie issue de \( v_n \)) et d'une suite arithmétique (pour la partie en \( n \)).

Exercice 2 : Dénombrement et combinaisons (6 points)

Cet exercice aborde divers problèmes de dénombrement basés sur la composition d'un code de carte bancaire à quatre chiffres non nuls (chiffres de 1 à 9).

• Question 1 : Dénombrer le nombre total de codes possibles. C'est une application directe du principe multiplicatif, correspondant à un arrangement avec répétition (ou k-uplets).
• Question 2 : Dénombrer des sous-ensembles de codes respectant des contraintes précises :
  • a. Codes à quatre chiffres différents : il s'agit de calculer un arrangement sans répétition.
  • b. Codes avec une seule fois le chiffre 1 : on utilise les combinaisons pour choisir la position du chiffre 1, puis le principe multiplicatif pour les autres chiffres.
  • c. Codes avec deux fois le chiffre 1 et deux autres chiffres distincts : un mélange de combinaisons (placer les 1) et d'arrangements (choisir et placer les deux autres chiffres).
  • d. Codes avec deux '1' et deux '2' : il s'agit d'une permutation avec répétitions, où l'on choisit les positions pour un type de chiffre.
  • e. Codes formés de deux paires de chiffres distincts (ex: 5588) : une approche combinatoire est nécessaire pour choisir les deux chiffres, puis les positions.

Exercice 3 : Limites de suites (4 points)

Cet exercice est un ensemble de calculs de limites de suites, testant les différentes techniques pour lever les formes indéterminées.

• a. \( u_n = n - \cos(n) \) : Utilisation du théorème de comparaison. Comme \( -1 \le -\cos(n) \le 1 \), on a \( n-1 \le u_n \).
• b. \( u_n = \frac{n - \sin(n)}{n^2 + 1} \) : Application du théorème d'encadrement (des gendarmes), en encadrant le sinus.
• c. \( u_n = \frac{3n + (-1)^n}{n+1} \) : Soit le théorème d'encadrement, soit la factorisation par le terme de plus haut degré pour lever l'indétermination.
• d. \( u_n = \frac{1}{n}\sin(2^n) \) : Cas typique du théorème des gendarmes, avec un terme qui tend vers 0 multipliant une fonction bornée.
• e. \( u_n = \frac{3n^2 + n + 1}{n^2 + 2n - 1} \) : Limite d'un quotient de polynômes, on ne garde que le rapport des termes de plus haut degré.
• f. \( u_n = \sqrt{n} - \frac{1}{\sqrt{n}} \) : Limite d'une somme de suites de référence, sans forme indéterminée ici.

Exercice 4 : Formule des combinaisons (3 points)

Le dernier exercice est une démonstration de cours. Il s'agit de prouver la formule de Pascal pour les combinaisons : \( \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k} \). La méthode attendue est un retour à la définition des combinaisons avec les factorielles, une mise au même dénominateur et une simplification.