1. Équation paramétrique d'une droite dans l'espace

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir deux méthodes pour donner l'équation paramétrique d'une droite qui passe par deux points. Une méthode ultra rapide qui est une propriété du cours et une deuxième méthode légèrement plus longue mais où on comprend ce qu'on est en train de faire. On s'y met tout de suite.

Première méthode : rapide mais moins intuitive

La première technique ressemble pas mal à ce que vous aviez fait en première quand on donne les équations de droite. Pour donner l'équation paramétrique d'une droite, il vous faut deux choses : un point de passage et un vecteur directeur. En l'occurrence, la formule qui s'affiche là, à partir de ces deux coordonnées, elle me permet de donner des équations paramétriques. Dans le cas d'une droite AB, le point de passage est relativement évident. Si vous voulez prendre la droite AB, votre point de passage ça va être soit A soit B. Le vecteur directeur est évident aussi, notre vecteur directeur c'est le vecteur AB. Le vecteur AB, pour quoi redonner celle de B - celle de A : \(0 - 1\), \(0 - 2\) et \(1 - 3\). Une fois que j'ai ça, pour donner les équations paramétriques de la droite, je mets un petit signe égal, je mets à part \(t\), donc enlever la \(t\), et ensuite j'ai multiplié \(t\) par les coordonnées de A, donc \(-1\) fois \(t\), \(-2\) fois \(t\), \(1\) fois \(t\), et je vais ajouter les coordonnées de mon point de passage, en l'occurrence par exemple c'est \(2\), \(1\), \(3\). Et je peux encadrer en deux secondes, je trouve l'équation paramétrique de la droite. Le problème de cette technique, elle est diablement efficace, diablement rapide, mais on ne comprend pas du tout ce que vient faire \(t\), pourquoi est-ce que \(t\) est celle de AB et pourquoi là est-ce que j'ai les coordonnées, aucune idée.

Deuxième méthode : plus longue mais plus intuitive

Regardez comment ça s'explique. Si on a la droite AB, moi ce que je vais faire c'est que je vais mettre un point M quelque part sur cette droite et ce point M, je lui donne comme coordonnées \(x\), \(y\), \(z\). Trouver les coordonnées de la droite ABC, trouver les coordonnées de tous les points M qui vérifient le point, elle est sur la droite, c'est ça qu'on est en train de faire. On est en train de trouver le \(x\), le \(y\), le \(z\) de tous les points M qui sont sur la droite. Tous les points, ils s'écrivent comme \(-1\) fois quelque chose plus \(2\), \(-2\) fois quelque chose plus \(1\), \(1\) fois quelque chose plus \(3\). Et je peux remplacer mon \(t\) par \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(-1\), \(-2\), des nombres à virgule, des zéros, peu importe. Si mon point M est sur la droite, si \(M\) appartient à la droite AB, souvenez-vous de ce qu'on a vu dans le chapitre, le tout premier chapitre, géométrie dans l'espace, droite et plan de l'espace. Pour montrer qu'un point appartient à une droite, il faut montrer que les points M, A et B sont alignés. Il faut montrer que les vecteurs \(AM\) et \(AB\) sont collinaires. Donc \(AM\) est collinéaire à \(AB\). Mais s'il y a un mais, \(AM\) est collinéaire à \(AB\), d'après la définition de la collinéarité, ça veut dire que \(AM\) est égal à quelque chose fois \(AB\). Ce quelque chose, moi je suis malin, je vais l'appeler \(t\). Et ben non, regardez les coordonnées de \(AM\), c'est \(x - 1\), \(y - 2\), \(z - 3\). Ça, \(AM\), c'est égal à \(t\) fois les coordonnées de \(AB\), c'est à dire \(-1\), \(-2\), \(1\). Là, j'ai juste transcrit le fait que \(M\) est égal à \(t\) fois \(AB\). Sauf que, regardez, quand je multiplie un vecteur, j'ai le droit de mettre \(t\) à l'intérieur des coordonnées, donc \(-t\), \(-2t\), \(t\). Et maintenant, regardez, si ce vecteur-là est égal à ce vecteur-là, ça veut dire que la première coordonnée vaut la première coordonnée. Donc j'ai \(x - 1\) est égal à \(-t\), \(y - 2\) est égal à \(-2t\), \(z - 3\) est égal à \(t\). Et j'ai plus qu'à passer le \(-1\) de l'autre côté qui devient \(+1\), mon \(-2\) qui devient \(+2\), mon \(-3\) qui devient \(+3\). J'encadre et j'ai bien les mêmes résultats ici et ici. Alors, comment comprendre cette histoire de paramètre ? Il faut vraiment que vous imaginiez que ce paramètre, qui est là, pour le comprendre, il faut qu'on fasse de la physique. Il faut qu'on dise que c'est le temps. En fait, ce que vous voyez ici, c'est presque une équation de trajectoire. C'est à dire que le point M va se balader sur sa droite et à chaque instant, à chaque \(t\) différent, sa position sera différente. Donc si je veux par exemple savoir si un point est sur la courbe, je vais me demander s'il y a un temps pour lequel les coordonnées de mon point M arrivent à cet endroit. Donc je vais remplacer ici les coordonnées par l'endroit où je veux arriver et je vais vérifier qu'il y a bien un temps \(t\) pour lequel j'arrive à ce point. On va se faire ça dans les vidéos qui viennent. Pour l'instant, entraînez-vous sur l'exercice proposé en dessous. Maîtrisez les deux manières, celle qui va très rapide parce que c'est important d'aller vite parfois, et celle qui va plus lentement parce qu'il faut vraiment que vous compreniez d'où vient ce paramètre. Je suis sûr que vous avez compris, vous êtes des brutes. À vous de jouer.