Découvrez un sujet de contrôle complet pour le niveau Terminale Spécialité Mathématiques, axé sur les chapitres fondamentaux des suites numériques, du raisonnement par récurrence et des probabilités conditionnelles. Ce sujet, prévu pour une durée d'une heure et sans calculatrice, est un excellent outil de révision et d'auto-évaluation. Il est conçu pour tester votre maîtrise des concepts clés à travers deux exercices progressifs. Ce contrôle corrigé vous permettra de vous préparer efficacement aux examens, en vous confrontant à des problèmes typiques qui mêlent analyse de suites et modélisation probabiliste.

Exercice 1 : Probabilités Conditionnelles et Suite Arithmético-Géométrique (12 points)

Cet exercice propose une situation concrète de modélisation probabiliste dans le contexte des jeux vidéo. On s'intéresse à la probabilité qu'un joueur choisisse un jeu de type A ou de type B, sachant que ce choix dépend de la partie précédente. Cette situation se modélise parfaitement à l'aide des probabilités conditionnelles et des suites.

• Question 1 : Arbre pondéré
  La première étape consiste à modéliser la situation à l'aide d'un arbre de probabilités. En notant \(A_n\) l'événement "la n-ième partie est de type A" et \(a_n = p(A_n)\), il faut compléter l'arbre qui illustre la transition de l'étape \(n\) à l'étape \(n+1\). On utilise les probabilités données : \(p_{A_n}(A_{n+1}) = 0,8\) et \(p_{B_n}(B_{n+1}) = 0,7\), et on en déduit les probabilités des événements contraires : \(p_{A_n}(B_{n+1}) = 0,2\) et \(p_{B_n}(A_{n+1}) = 0,3\).
• Question 2 : Formule des probabilités totales
  En s'appuyant sur l'arbre, il est demandé d'appliquer la formule des probabilités totales pour établir une relation de récurrence pour la suite \((a_n)\). L'événement \(A_{n+1}\) est la réunion des événements disjoints \((A_n \cap A_{n+1})\) et \((B_n \cap A_{n+1})\). On démontre ainsi que pour tout \(n \ge 1\), la suite \((a_n)\) vérifie la relation : \(a_{n+1} = 0,8 a_n + 0,3(1-a_n)\), ce qui se simplifie en \(a_{n+1} = 0,5 a_n + 0,3\).
• Question 3 : Étude d'un cas particulier par récurrence
  Pour un cas particulier où la probabilité initiale est \(a_1 = a = 0,5\), l'exercice guide vers une étude approfondie de la suite.
  • Il faut d'abord démontrer par un raisonnement par récurrence que la suite est bornée : pour tout \(n \ge 1\), on a \(0 \le a_n \le 0,6\). L'initialisation est vérifiée, et l'hérédité se prouve en utilisant la définition de la suite et l'hypothèse de récurrence.
  • On en déduit ensuite le sens de variation de la suite \((a_n)\) en étudiant le signe de la différence \(a_{n+1} - a_n = -0,5 a_n + 0,3\). Grâce à l'encadrement prouvé précédemment, on montre que cette différence est positive, et donc que la suite est croissante.
• Question 4 : Étude du cas général et suite arithmético-géométrique
  L'étude se généralise avec une probabilité initiale \(a \in [0; 1]\). La suite \((a_n)\) est une suite arithmético-géométrique. Pour trouver sa forme explicite, on introduit une suite auxiliaire \((u_n)\) définie par \(u_n = a_n - 0,6\).
  • On démontre que \((u_n)\) est une suite géométrique en exprimant \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\). On trouve que \(u_{n+1} = 0,5 u_n\), ce qui prouve que la suite est géométrique de raison \(q=0,5\) et de premier terme \(u_1 = a - 0,6\).
  • Finalement, on utilise la forme explicite de \((u_n)\) pour en déduire celle de \((a_n)\) : \(a_n = u_n + 0,6 = (a - 0,6) \times 0,5^{n-1} + 0,6\).

Exercice 2 : Étude d'une Suite Définie par une Somme (8 points)

Ce deuxième exercice est un classique de l'analyse de suites. Il se concentre sur une suite \((u_n)\) définie comme la somme des termes d'une autre suite : \(u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}\). L'objectif est d'étudier ses propriétés : variation, expression explicite et bornes.

• Question 1 : Calcul des premiers termes
  Une première approche pour comprendre la suite est de calculer ses premiers termes : \(u_1 = \frac{1}{2}\), \(u_2 = \frac{2}{3}\), \(u_3 = \frac{3}{4}\). Ces calculs permettent de conjecturer le comportement de la suite.
• Question 2 : Sens de variation de la suite
  Pour déterminer rigoureusement le sens de variation de \((u_n)\), on calcule la différence \(u_{n+1} - u_n\). On trouve que \(u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)}\), qui est une quantité strictement positive pour tout \(n \ge 1\). La suite \((u_n)\) est donc strictement croissante.
• Question 3 : Forme explicite de la suite
  La question clé de l'exercice est de trouver une expression simple pour \(u_n\). Pour cela, on utilise une astuce de calcul : la décomposition en éléments simples de la fraction \(\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\). En appliquant cette égalité à chaque terme de la somme, on obtient une somme télescopique où la plupart des termes s'annulent deux à deux. On démontre ainsi que \(u_n = 1 - \frac{1}{n+1}\).
• Question 4 : Minoration de la suite
  Ayant prouvé que la suite est croissante, on peut facilement en déduire qu'elle est minorée. Puisque \(u_n \ge u_1\) pour tout \(n \ge 1\), on conclut que la suite \((u_n)\) est minorée par son premier terme, \( \frac{1}{2} \).

En résumé, ce sujet de mathématiques pour la Terminale Spécialité est très complet. Il évalue la capacité à modéliser une situation avec des probabilités, à manipuler les arbres pondérés et la formule des probabilités totales. De plus, il teste en profondeur les compétences sur les suites numériques, notamment les suites arithmético-géométriques et le raisonnement par récurrence pour prouver des inégalités, des variations ou des propriétés de bornes.