Introduction
Allons-y, nous allons aborder un des exercices les plus célèbres des récurrences en terminale, c'est l'exercice de la fonction auxiliaire. On vous donne une fonction et une suite. La première question est d'étudier les variations de la fonction. La deuxième question est d'étudier les variations de la suite ou de faire une récurrence sur la suite.
Étude des fonctions
On commence par étudier les fonctions. Cet exercice est particulièrement vicieux car en général, on vous demande d'étudier la fonction, puis on vous donne du blabla, et à la fin une récurrence. Si vous ne vous souvenez pas de ce que vous avez fait avant, vous êtes dans l'embarras.
La première partie concerne les variations de \(f_2\). Je vous rappelle que \(f_2(x) = 5 - \frac{4}{x+2}\). Attention, quand vous étudiez les variations d'une fonction, même si vous êtes dans le chapitre des suites, vous ne faites pas une plus ou moins 1. Cette technique ne marche que pour les suites. Pour étudier les variations d'une fonction, je dérive, je regarde le signe de la dérivée et je fais un tableau de variation.
La dérivée de \(f_2(x)\) est \(f'_2(x) = \frac{4}{(x+2)^2}\). Comme \(f'_2(x)\) est toujours positif, \(f_2(x)\) est donc croissante.
Étude de la suite
Après avoir étudié les variations de \(f_2\), on passe à l'étude de la suite. On vous pose plusieurs questions et à un moment, on vous demande de démontrer que la suite est croissante et positive.
Je vais donc démontrer que la suite est croissante et positive. Les trois étapes de la récurrence sont : savoir ce qu'on veut démontrer, savoir à partir de quel rang on veut le démontrer et savoir comment on va le faire.
Dans cet exercice, on veut démontrer que la suite est croissante et positive à partir du rang 0. Pour cela, on va utiliser le résultat de l'étude de la fonction \(f_2\).
L'initialisation se fait à 0. On vérifie que \(u_0 < u_1 < u_2\), ce qui est vrai. Ensuite, on passe à l'hérédité. On suppose qu'il existe un entier \(n\) tel que \(u_n < u_{n+1}\) et on montre que \(u_{n+1} < u_{n+2}\).
Pour cela, on utilise le fait que \(u_{n+1} = f_2(u_n)\) et que \(f_2\) est croissante. On a donc \(u_{n+1} < u_{n+2}\).
En conclusion, la propriété est vraie pour tout \(n\) appartenant à \(N\).
Conclusion
Cet exercice est très classique. On vous demande d'étudier une fonction, puis on vous présente une suite qui est définie à partir de cette fonction. Ensuite, on vous demande de faire une récurrence sur cette suite. C'est un vrai sujet de bac et un vrai sujet de contrôle. À vous de jouer maintenant.