Découvrez le corrigé détaillé d'un sujet de maths de Terminale spécialité, axé sur deux chapitres fondamentaux : le raisonnement par récurrence et l'étude des suites numériques. Ce contrôle, d'une durée de 2 heures, est un excellent entraînement pour le baccalauréat. Il balaie un large spectre de compétences, allant de la manipulation de suites classiques à l'analyse d'algorithmes.

Exercice 1 : Étude d'une suite définie par une fonction (6 points)

Cet exercice est un grand classique qui lie l'étude de fonction à celle des suites. Il est divisé en deux parties interdépendantes.

• Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire

  On étudie la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1} \). La première question consiste à démontrer un encadrement strict de la fonction, à savoir que pour tout réel \( x \), \( 0 < f(x) < 1 \). Ensuite, il est demandé d'étudier les variations de \( f \), ce qui implique de calculer sa dérivée et d'analyser son signe. Cette étude est cruciale pour la suite de l'exercice.

• Partie B : Étude de la suite récurrente

  On s'intéresse à la suite \( (u_n) \) définie par son premier terme \( u_0 = 3 \) et la relation de récurrence \( u_{n+1} = f(u_n) \). Cet exercice est un cas d'école pour l'application du raisonnement par récurrence.

  • La première question demande de démontrer par récurrence que pour tout entier \( n \geq 1 \), la suite est bornée : \( 0 < u_n < 1 \). L'initialisation se fait au rang 1 et l'hérédité utilise les propriétés de la fonction \( f \) vues en partie A.
  • La deuxième question vise à prouver, également par récurrence, que la suite \( (u_n) \) est décroissante. Cela peut se faire en étudiant le signe de \( u_{n+1} - u_n \) ou en utilisant le sens de variation de la fonction \( f \). C'est une compétence clé qui combine analyse de fonction et raisonnement par récurrence.

Exercice 2 : Étude d'une suite arithmético-géométrique avec terme additionnel (7 points)

Cet exercice aborde un type de suite plus complexe, où le terme général dépend à la fois de \( u_n \) et de \( n \). La suite est définie par \( u_0 = 0 \) et \( u_{n+1} = 3u_n - 2n + 3 \).

• Après un calcul simple des premiers termes \( u_1 \) et \( u_2 \), on entre dans le vif du sujet avec un nouveau raisonnement par récurrence pour prouver l'inégalité \( u_n \ge n \).
• La détermination du sens de variation se fait en étudiant la différence \( u_{n+1} - u_n \).
• La question 3 est la pierre angulaire de l'exercice. On introduit une suite auxiliaire \( (v_n) \) définie par \( v_n = u_n - n + 1 \). Il faut alors démontrer que \( (v_n) \) est une suite géométrique, en précisant sa raison et son premier terme. C'est une méthode essentielle à maîtriser.
• Une fois la nature de \( (v_n) \) établie, on peut en déduire sa forme explicite, puis celle de \( (u_n) \), pour arriver à \( u_n = 3^n + n - 1 \).
• Enfin, l'exercice se conclut par un calcul de somme : \( S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k \). Ce calcul nécessite de décomposer la somme et d'utiliser les formules de la somme des termes d'une suite géométrique et de la somme des premiers entiers (suite arithmétique).

Exercice 3 : Suites entremêlées, algorithmique et récurrence (7 points)

Ce dernier exercice augmente la difficulté en introduisant deux suites récurrentes dépendant l'une de l'autre, ainsi qu'une partie algorithmique.

On définit \( (a_n) \) et \( (b_n) \) par \( a_0 = 0, b_0 = 1 \) et les relations :
\( a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 5 \)
\( b_{n+1} = 3a_n + 2b_n + 1 \)

• La première question, un simple calcul de termes, permet de s'approprier les suites.
• La deuxième question est consacrée à l'algorithmique. Un algorithme est proposé pour calculer \( a_n \) et \( b_n \). Il faut l'exécuter "à la main" pour \( n=1 \), puis identifier une erreur classique dans le calcul de suites entremêlées et proposer une correction. Cette erreur est souvent liée à l'ordre des affectations des variables.
• La troisième question se concentre sur la suite \( (a_n) \), qui est une suite arithmético-géométrique. En posant \( u_n = a_n - 10 \), on prouve que \( (u_n) \) est géométrique, ce qui permet de trouver l'expression de \( a_n \) en fonction de \( n \).
• La question finale est un défi : il faut démontrer par récurrence une formule explicite assez complexe pour \( b_n \). Cette preuve de \( b_n = -31 + 12 \times 2^n + 20 \times (\frac{1}{2})^n \) demande une grande rigueur dans les calculs et une bonne maîtrise du raisonnement par récurrence, en utilisant l'expression de \( a_n \) trouvée précédemment. C'est un excellent test de la capacité à mener un calcul long et structuré.

En conclusion, ce contrôle corrigé de Terminale est un sujet complet sur les suites et la récurrence, indispensable pour s'évaluer et progresser en vue du bac. Il renforce les bases sur les suites géométriques, arithmético-géométriques, et la rédaction rigoureuse du raisonnement par récurrence.