Introduction
Nous allons montrer par récurrence qu'une suite est croissante ou décroissante. Comme d'habitude dans les exercices de récurrence, nous allons le faire en deux temps. Un premier temps, nous allons analyser le sujet et un deuxième temps, nous allons rédiger la récurrence à proprement parler.
Analyse du sujet
Je cherche ce que je dois démontrer, où est-ce que je dois le démontrer et comment est-ce que je peux le faire en regardant l'énoncé. Ce que je dois démontrer c'est que \(U_n\) est croissante. Où est-ce que je dois le démontrer? C'est moins évident parce que dans cet énoncé, on ne vous dit pas explicitement, "Montrez, par exemple, que \(U_n\) est croissante pour tout \(n\) appartenant à \(N\) ou pour tout \(n\) plus grand que trois". Donc il va falloir que vous alliez chercher cette information où elle est cachée dans l'énoncé et en réalité elle est cachée ici. Vu que \(U_n\) commence à zéro. Si vous voulez montrer que \(U_n\) est croissante, il va falloir le montrer pour tout \(n\) supérieur ou égal à zéro. Et enfin, comment est-ce que vous allez faire pour le montrer? Grâce à la relation de récurrence qui vous est donnée ici. Vous avez toutes les données, on peut s'y mettre.
Rédaction de la récurrence
Allez, on commence par l'hypothèse de récurrence, ce qu'on veut démontrer, on l'écrit entre crochets. Donc nous, ce qu'on veut démontrer, c'est que \(U_n\) est croissante, sauf que \(U_n\) est croissante. Ce n'est pas une phrase mathématique, une phrase mathématique, c'est un objet, un signe égal, plus grand, plus petit, plus grand ou égal, plus petit ou égal qu'un autre. Donc nous, on va transformer \(U_n\) est croissante en une inégalité. Si \(U_n\) est croissante, ça veut dire que le terme après il est plus grand que le terme avant. Le terme après, de manière générale, on l'écrit \(U_{n+1}\), et le terme avant, on l'écrit \(U_n\). Ce que je veux démontrer c'est que \(U_{n+1}\) est plus grand que \(U_n\). Formidable, j'ai mon \(P_n\). Souvenez-vous, en \(U_n\) est croissante c'est \(U_{n+1}\) est plus grand que \(U_n\) et \(U_n\) décroissante c'est \(U_{n+1}\) plus petit que \(U_n\).
On attaque avec notre initialisation. Donc pour l'initialisation, vous pouvez voir la phrase de votre prof, mais vous pouvez aussi prendre la phrase qu'on a mis nous sur notre fiche qui est de dire \(P_0\) est vraie car ou \(P_1\) est vrai car \(P_2\) est vrai car, qui a le mérite d'être beaucoup plus courte. Donc moi je vais utiliser ça, je vais dire \(P_0\). Je veux commencer à zéro est vrai car \(U_{0+1}\) donc \(U_1\) est plus grand que \(U_0\). Mais pour montrer que \(U_1\) est plus grand que \(U_0\), il faut que je calcule \(U_0\) et \(U_1\). Donc \(U_0\) c'est 10, là c'est 1,5 fois \(U_0\) donc 1,25 fois 10, 12,5 - 2 ça fait 10,5 et j'ai bien 10,5 qui est plus grand que dix. Donc \(U_1\) est plus grand que \(U_0\) donc \(P_0\) est vrai.
Hérédité
C'est là que c'est compliqué. C'est là que vous vous plantez. C'est là que la plupart des élèves n'arrivent pas à faire l'hérédité parce qu'il y a un truc tout simple. Je vais vous montrer tout de suite. Donc on met notre petite phrase qu'on a appris par cœur. Supposons qu'il existe un entier \(n\) tel que \(P_n\) soit vrai. Montrons alors que \(P_{n+1}\) est vrai aussi. Donc en gros on doit partir de \(P_n\), donc on sait que on a le droit d'écrire que \(U_{n+1}\) est plus grand que \(U_n\) et on veut arriver à \(P_{n+1}\). C'est la même chose en remplaçant \(n\) par \(n+1\), donc \(U_{n+1}\) qui devient \(U_{n+2}\) et mon \(U_n\), il devient \(U_{n+1}\).
Il y a une mouche qui joue avec mes nerfs. Je suis pas sûr, mais je sais pas si vous avez vu cet épisode de Breaking Bad où le mec qui devient fou y ait une mouche dans son labo. Je suis dans cette situation là. Il y a une mouche, vous l'entendez? Elle me rend dingue. Donc on va arriver à \(U_{n+2}\) plus grand que \(U_{n+1}\). Comment on va faire? Jusqu'ici, rien de compliqué. On regarde le côté gauche et on se dit qu'est-ce qui, dans l'énoncé me permet de transformer \(U_{n+1}\) en \(U_{n+2}\)? Je regarde l'énoncé et là, drame catastrophe, il n'y a rien qui me permet de transformer \(U_{n+1}\) en \(U_{n+2}\). Sauf que si. Parce que regarder ça \(U_{n+1} = 1,25U_n - 2\) cette phrase là, cette recette là, elle vous dit pour faire le terme suivant, je prends 1,25 fois le terme précédent et j'enlève deux. Donc en fait, cette phrase aurait tout aussi bien pu l'écrire que \(U_{n+2} = 1,25U_{n+1} - 2\). Du coup, j'ai ma relation qui me permet à partir de \(U_{n+1}\) de faire \(U_{n+2}\). Je multiplie par 1,25 et j'enlève deux donc je me retrouve avec \(1,25U_{n+1} > 1,25U_n\). Et maintenant j'enlève 2 des 2 côtés \(1,25U_{n+1} - 2 > 1,25U_n - 2\) j'ai bien \(U_{n+2}\) et \(U_{n+1}\) et l'affaire est régler. L'hérédité est faite la conclusion est faite bim bam boom j'ai terminé.
Il y a des exercices en dessous et pour les curieux, je voudrais quand même qu'on parle d'un truc. Regardez moi, cette hérédité. Finalement, on commence par multiplier par 1,25, donc on change pas le signe de l'inégalité. Ensuite, on enlève deux. On ne change pas le signe de l'inégalité. Mais finalement, en faisant cette manipulation là, j'aurais très bien pu démontrer qu'une était plus une, plus un des plus petits que j'aurais pu démontrer. La chose inverse, j'aurais pu démontrer qu'elle était décroissante car j'ai compris qu'il y a un problème. Si j'ai une démonstration qui me permet de montrer à la fois qu'elle est croissante et qu'elle est décroissante, c'est que ça marche pas. J'ai pas compris. Allez les réponses en commentaire. Si vous avez votre opinion sur ce qui s'est passé là dessus, il y a des exercices en dessous. À vous de jouer, vous êtes des machines.