Livre
3. Montrer par récurrence qu'une suite est majorée/minorée
Conditions d'achèvement
Exercice
1
Exercice
2
Exercice
3
Exercice
4
Exercice
5
Exercice
6
Pour aller plus loin : Contrôles sur ce chapitre 🎯
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Bonjour, à l'exercice 6, Il est nécessaire de soustraire Un+1 par 1 (Un+1 - 1), mais faut il effectuer ce calcul. N'est-ce pas possible de calculer Un+2 ?
Bonjour Rafael, calculer `u[n+2]` ne nous aiderait pas ici : le but de l'hérédité est de prouver que `u[n+1] <= 1` (en supposant que `u[n] <= 1`), pas de passer au rang suivant. Pour prouver que `u[n+1] <= 1`, une méthode très efficace avec les fractions est de calculer la différence `u[n+1] - 1` et d'étudier son signe. Si tu arrives à montrer que `u[n+1] - 1 <= 0` en mettant tout au même dénominateur, tu as gagné ! 🚀
Comment savoir qu'il faut soustraire un+1 par 1?
cool vrmt
merci beaucoup
Tout le plaisir est pour nous @Léanegermain
je n'y arrivais vraiment pas et puis j'ai découvert ce prof, les exos sont gratuits et puis il détaille super bien. Je vous remercie
Tout le plaisir est pour nous @EmmanuelleLat
Ce prof est tout simplement incroyable grace a lui je comprends tout!
Allez merci !!!
Ta raison
J'ai ta carte de lycée 2023-2024 mec
merci vous m'avez bcp aidez que Dieu vous recompense
C'est un plaisir pour nous de vous aider @HadyOusmane
JE NE COMPRENAIT RIEN AU COURS MAINTENANT C'EST MOI QUI EXPLIQUE A MES AMIS .MERCI GALILEE
Bonjour @AboubacarOuedraogo
Tout le plaisir est pour nous ✨✨
Tout le plaisir est pour nous ✨✨
Introduction
Allons-y, mes amis, nous allons voir comment démontrer par récurrence qu'une suite est majorée ou minorée, c'est-à-dire si elle est plus grande ou plus petite qu'un nombre donné. Je vais vous apprendre à faire une récurrence, qui se fait en deux étapes.Étape 1 : Analyse de l'énoncé
Premièrement, j'analyse l'énoncé. Pour analyser l'énoncé, vous devez rechercher trois choses. La première chose est de déterminer ce que vous voulez démontrer. C'est une phrase mathématique avec du \(n\) et ça va être le \(P_n\) qui s'affiche dans la fiche que vous avez sous les yeux. La deuxième étape est de déterminer où vous allez le démontrer. C'est une information qui va vous permettre de savoir comment faire votre initialisation, c'est-à-dire où commencer votre initialisation. La troisième étape est de déterminer comment faire votre récurrence, comment faire votre partie de l'hérédité. C'est une information, une recette de cuisine qui va vous permettre de construire le terme suivant à partir du terme précédent.Étape 2 : Démonstration par récurrence
On vous donne une suite \(u_n\) définie par récurrence, montrer que \(u_n\) est minorée par 2 pour tout \(n\) appartenant à \(N\). Premièrement, qu'est-ce que je veux démontrer ? Je vais démontrer que \(u_n\) est minorée par 2. Deuxièmement, où est-ce que je veux le démontrer ? Je veux le démontrer pour tout \(N\) appartenant à \(N\). Cela signifie que toutes les valeurs de \(n\) sont comprises entre zéro et plus l'infini. Donc je sais déjà que mon initialisation, je vais la faire pour \(n = 0\). Troisièmement, quelle est la recette qui me permet de faire l'hérédité, c'est-à-dire qui me permet de construire la propriété \(n+1\) à partir de la propriété \(n\) ? Dans l'énoncé, on a une recette qui nous dit pour construire le terme suivant, tu prends deux fois le terme précédent et tu enlèves un. Avec ces trois éléments, on peut attaquer les trois étapes de la démonstration qui sont en réalité quatre étapes, puisque l'étape zéro, c'est de définir notre propriété de récurrence, notre hypothèse de récurrence.Conclusion
En conclusion, la démonstration par récurrence est une méthode puissante pour prouver des propriétés sur des suites. Elle nécessite une bonne compréhension de l'énoncé, une initialisation correcte et une étape d'hérédité bien menée. Avec de la pratique, vous deviendrez des experts en la matière.Nouvelle recrue
Invité
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