Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6

Introduction

Allons-y, mes amis, nous allons voir comment démontrer par récurrence qu'une suite est majorée ou minorée, c'est-à-dire si elle est plus grande ou plus petite qu'un nombre donné. Je vais vous apprendre à faire une récurrence, qui se fait en deux étapes.

Étape 1 : Analyse de l'énoncé

Premièrement, j'analyse l'énoncé. Pour analyser l'énoncé, vous devez rechercher trois choses. La première chose est de déterminer ce que vous voulez démontrer. C'est une phrase mathématique avec du \(n\) et ça va être le \(P_n\) qui s'affiche dans la fiche que vous avez sous les yeux. La deuxième étape est de déterminer où vous allez le démontrer. C'est une information qui va vous permettre de savoir comment faire votre initialisation, c'est-à-dire où commencer votre initialisation. La troisième étape est de déterminer comment faire votre récurrence, comment faire votre partie de l'hérédité. C'est une information, une recette de cuisine qui va vous permettre de construire le terme suivant à partir du terme précédent.

Étape 2 : Démonstration par récurrence

On vous donne une suite \(u_n\) définie par récurrence, montrer que \(u_n\) est minorée par 2 pour tout \(n\) appartenant à \(N\). Premièrement, qu'est-ce que je veux démontrer ? Je vais démontrer que \(u_n\) est minorée par 2. Deuxièmement, où est-ce que je veux le démontrer ? Je veux le démontrer pour tout \(N\) appartenant à \(N\). Cela signifie que toutes les valeurs de \(n\) sont comprises entre zéro et plus l'infini. Donc je sais déjà que mon initialisation, je vais la faire pour \(n = 0\). Troisièmement, quelle est la recette qui me permet de faire l'hérédité, c'est-à-dire qui me permet de construire la propriété \(n+1\) à partir de la propriété \(n\) ? Dans l'énoncé, on a une recette qui nous dit pour construire le terme suivant, tu prends deux fois le terme précédent et tu enlèves un. Avec ces trois éléments, on peut attaquer les trois étapes de la démonstration qui sont en réalité quatre étapes, puisque l'étape zéro, c'est de définir notre propriété de récurrence, notre hypothèse de récurrence.

Conclusion

En conclusion, la démonstration par récurrence est une méthode puissante pour prouver des propriétés sur des suites. Elle nécessite une bonne compréhension de l'énoncé, une initialisation correcte et une étape d'hérédité bien menée. Avec de la pratique, vous deviendrez des experts en la matière.