Obtenez une analyse détaillée et un corrigé de ce sujet de bac blanc pour la terminale spécialité mathématiques. Ce contrôle de maths d'une heure, avec calculatrice autorisée, porte sur les chapitres clés de la dérivation, la convexité, et les suites numériques. C'est un excellent entraînement pour le baccalauréat, couvrant des compétences essentielles comme l'étude de fonctions, le raisonnement par récurrence et l'analyse de suites. Idéal pour les élèves de terminale souhaitant réviser et s'évaluer.

Exercice 1 : QCM sur l'Analyse de fonction (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples qui évalue votre capacité à lire et interpréter graphiquement des informations sur une fonction et sa dérivée, ainsi que votre maîtrise des formules de dérivation des fonctions composées.

• Question 1 : Lecture du nombre dérivé. Il s'agit de déterminer graphiquement la valeur de \( f'(1) \). La courbe \( \mathscr{C} \) passe par le point \( B(1;0) \) et sa tangente \( (T) \) en ce point passe également par \( D(2;-2) \). Le nombre dérivé \( f'(1) \) correspond au coefficient directeur de cette tangente. On le calcule par la formule \( m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} \).
• Question 2 : Convexité et concavité graphiques. Cette question demande de déterminer un intervalle sur lequel la fonction \( f \) est convexe ou concave. L'observation de la position de la courbe par rapport à ses tangentes est cruciale. Une fonction est convexe lorsque sa courbe est au-dessus de ses tangentes, et concave lorsqu'elle est en dessous. Le point d'inflexion, où la convexité change, est ici le point \( A(0;1) \).
• Question 3 : Dérivée d'un produit avec exponentielle. On doit dériver la fonction \( g(x) = 2xe^{5-3x} \). Cela nécessite l'application de la formule de dérivation d'un produit \( (uv)' = u'v + uv' \) et de la dérivée d'une fonction composée de type \( e^u \).
• Question 4 : Dérivée d'une fonction racine. Il faut calculer la dérivée de \( h(x) = \sqrt{x^2+1} \). La compétence requise est la dérivation d'une fonction composée de la forme \( \sqrt{u} \), dont la dérivée est \( \frac{u'}{2\sqrt{u}} \).
• Question 5 : Dérivée d'une fonction puissance. On demande la dérivée de \( j(x) = (5x^2+1)^3 \). La formule à utiliser est celle de la dérivation d'une fonction puissance \( (u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1} \).

Exercice 2 : Étude complète d'une fonction polynôme (4 points)

Cet exercice se concentre sur l'étude d'une fonction polynôme du troisième degré, \( f(x) = x^3 + 5x^2 - 8x - 7 \). Il s'agit d'une application directe des méthodes d'analyse de fonction.

• Question 1 : Étude des variations. Pour étudier les variations de \( f \), on calcule sa dérivée \( f'(x) \), on étudie le signe de ce polynôme du second degré (en calculant son discriminant et ses racines), et on dresse le tableau de variations de \( f \).
• Question 2 : Équation de la tangente. Il est demandé de trouver l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2. On applique la formule \( y = f'(2)(x-2) + f(2) \), ce qui demande de calculer l'image de 2 par \( f \) et par sa dérivée \( f' \).
• Question 3 : Dérivée seconde et point d'inflexion. On doit calculer la dérivée seconde \( f''(x) \) pour étudier la convexité de la fonction. Le point d'inflexion est le point où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.

Exercice 3 : Étude d'une suite récurrente (11 points)

Cet exercice très complet aborde l'étude d'une suite \( (u_n) \) définie par une relation de récurrence \( u_{n+1} = f(u_n) \), où \( f \) est une fonction homographique. L'exercice est divisé en plusieurs parties pour guider l'analyse.

Partie A : Étude de la fonction associée

On étudie la fonction \( f(x) = \frac{2x+5}{x+6} \) qui définit la suite.

• Questions 1 et 2 : Dérivée et variations. On calcule la dérivée de \( f \) en utilisant la formule du quotient, puis on en déduit son signe pour établir le tableau de variations de \( f \).
• Question 3 : Points fixes. Résoudre l'équation \( f(x)=x \) permet de trouver les points fixes de la fonction, qui sont les limites potentielles de la suite \( (u_n) \).

Partie B : Étude de la suite \( (u_n) \)

• Question 1 : Raisonnement par récurrence. L'objectif est de démontrer par récurrence une inégalité qui encadre les termes de la suite et prouve sa monotonie : \( 1 \le u_{n+1} < u_n \le 8 \). Cette démonstration s'appuie sur les variations de la fonction \( f \) étudiées précédemment.
• Question 2 : Convergence de la suite. En utilisant le résultat de la question précédente, on peut appliquer le théorème de la limite monotone qui stipule qu'une suite décroissante et minorée est convergente.

Partie C : Utilisation d'une suite auxiliaire

On introduit une suite auxiliaire \( (w_n) \) pour déterminer l'expression explicite de \( (u_n) \).

• Question 2 : Nature de la suite auxiliaire. On démontre que la suite \( (w_n) \) est une suite géométrique en calculant le rapport \( \frac{w_{n+1}}{w_n} \).
• Question 3 : Expression explicite de \( u_n \). On exprime \( w_n \) en fonction de \( n \), puis on utilise la relation entre \( u_n \) et \( w_n \) pour trouver l'expression de \( u_n \) en fonction de \( n \).

Partie D : Algorithmique

Cette dernière partie consiste à compléter un algorithme en Python qui détermine le rang à partir duquel un terme de la suite passe sous un certain seuil. Cela teste la compréhension de la structure d'une boucle "while" dans le contexte de l'étude d'une suite.