6. Montrer par récurrence l'expression explicite d'une suite à partir de l'expression récurrente

Introduction

Salut les amis, nous allons aborder une récurrence classique : démontrer l'expression explicite d'une suite par récurrence. Comme d'habitude dans ce genre d'exercice, nous allons commencer par analyser l'énoncé et ensuite nous attaquerons la récurrence à proprement parler. Dans cet énoncé, on vous donne une suite, on vous donne l'expression récurrente, c'est-à-dire l'expression où on a le terme suivant en fonction du terme précédent, et on vous demande de démontrer son expression explicite. C'est-à-dire une expression directement en fonction de \(n\), ce qui est bien plus pratique. Nous allons le démontrer par récurrence.

Analyse de l'énoncé

Nous allons chercher dans l'énoncé les informations suivantes : qu'est-ce que je dois démontrer ? Où est-ce que je dois le démontrer ? Et comment est-ce que je vais le faire ? Qu'est-ce que je dois démontrer ? C'est assez simple, on veut démontrer que \(u_n = 40 \times 0.9^n - 30\). Où est-ce que je dois le démontrer ? C'est-à-dire pour quelle valeur de \(n\) ? Est-ce que je dois le démontrer pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbb{N}\) ? C'est plutôt clair.

Démonstration par récurrence

Maintenant, comment je vais le faire ? Il ne me reste plus qu'à utiliser ces deux informations et on s'y met.

Initialisation

La première étape est l'initialisation. C'est vérifier que votre proposition, c'est-à-dire ce que vous voulez démontrer, est vraie pour la première valeur de \(n\), c'est-à-dire pour \(n = 0\). Pourquoi zéro ? Parce que vu que c'est pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbb{N}\), l'ensemble des entiers naturels, il commence à zéro, puis à un, puis à deux, puis à trois et ainsi de suite. Donc si vous voulez le démontrer pour le plus petit de ces ensembles, pour le premier, ce sera \(n = 0\). Donc vérifions que \(P_0\) est vrai. \(P_0\) est vrai car \(u_0 = 40 \times 0.9^0 - 30 = 10\). Donc \(P_0\) est vrai parce qu'on a bien \(u_0\) qui vaut \(40 \times 0.9^0 - 30\) et ça fait 10.

Hérédité

Maintenant, passons à l'hérédité, autrement dit le passage difficile. Supposons qu'il existe un \(n\) tel que \(P_n\) soit vrai. Montrons que \(P_{n+1}\) est vrai aussi. Donc vous écrivez \(P_n\) qui va être que \(u_n = 40 \times 0.9^n - 30\). Montrons maintenant que \(P_{n+1}\) est vrai aussi. Donc ça veut dire que votre but c'est d'arriver à \(u_{n+1} = 40 \times 0.9^{n+1} - 30\). Comment est-ce que je fais ? Comme d'habitude, je regarde le côté gauche de l'équation, donc je regarde \(u_{n+1}\). Je me demande comment est-ce que je peux passer de \(u_n\) à \(u_{n+1}\) ? Regardez, j'ai un truc qui est tout fait. \(u_{n+1} = 0.9u_n - 3\). Donc je vais commencer par multiplier \(u_n\) par 0.9, ça fait \(40 \times 0.9^n - 30\) fois 0.9. Jusque là j'ai juste tout multiplié par 0.9 et maintenant je vais en enlever trois. Donc je vais retrouver \(0.9u_n - 3\) qui vaut tout cette histoire. Je développe \(40 \times 0.9^{n+1} - 0.9 \times 30 - 3\). Donc ça fait \(0.9 \times 40 \times 0.9^n - 0.9 \times 30 - 3\). Maintenant \(0.9 \times 30\) ça fait 27 et \(27 - 3\) comme par hasard, ça me fait -30. Eh bien c'est bon, j'ai \(u_{n+1} = 40 \times 0.9^{n+1} - 30\). CQFD comme disent les vieux matheux.

Conclusion

La proposition \(P_n\) est initialisée et héréditaire. Donc \(P_n\) est vrai pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbb{N}\). Et c'est gagné. On vous a mis des petits exercices en dessous, entraînez-vous à les résoudre.