Ce document est un sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale spécialité. Il couvre plusieurs chapitres clés du programme : les limites de fonctions, l'étude des suites numériques, le raisonnement par récurrence, et le dénombrement. Ce corrigé détaillé vous permettra de vous entraîner et de valider vos connaissances sur ces notions fondamentales.
- Niveau : Terminale spécialité
- Chapitres : Limites, Suites, Récurrence, Dénombrement
- Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale, spécialité maths, limites de fonctions, asymptotes, suites numériques, raisonnement par récurrence, suite arithmético-géométrique, dénombrement, combinaisons, permutations.
Exercice 1 : Étude de fonction et asymptotes
Cet exercice se concentre sur l'étude d'une fonction homographique simple, définie par \(f(x) = \frac{3x-7}{x-5}\). La première question demande de calculer les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition : en \(+\infty\), \(-\infty\), ainsi qu'à gauche et à droite de la valeur interdite \(x=5\). Cela implique l'utilisation des techniques de lever d'indétermination pour les fonctions rationnelles (factorisation par le terme de plus haut degré) et l'étude du signe du dénominateur au voisinage de 5. La deuxième question est une application directe de ces calculs : il faut en déduire les équations des asymptotes horizontale et verticale à la courbe représentative de la fonction, faisant le lien entre l'analyse et l'interprétation graphique.
Exercice 2 : Raisonnement par récurrence
L'exercice 2 aborde les suites à travers une somme de termes. On définit la suite \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}\). La première question est un classique du raisonnement par récurrence : il faut démontrer que pour tout entier naturel non nul \(n\), la somme \(S_n\) est égale à \(\frac{n}{n+1}\). Cela nécessite de bien maîtriser les trois étapes de la récurrence (initialisation, hérédité, conclusion). Ensuite, il est demandé de déterminer la limite de la suite \((S_n)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\), un calcul simple de limite d'une suite rationnelle.
Exercice 3 : Vrai ou Faux sur les suites et le dénombrement
Cet exercice teste la compréhension fine des concepts à travers trois affirmations à justifier.
- La première porte sur les opérations sur les limites de suites. Si une suite \((u_n)\) converge vers une limite non nulle, la suite \((u_n + \frac{1}{u_n})\) est-elle convergente ? Il faut utiliser les théorèmes sur la somme et le quotient de limites.
- La deuxième affirmation est un problème de dénombrement qui compare le nombre de permutations d'un ensemble à 9 éléments (calculé par \(9!\)) au nombre de 6-uplets (calculé par \(9^6\)).
- La troisième affirmation est également un problème de dénombrement classique : pour une compétition d'escrime avec 10 participants où tout le monde se rencontre une fois, faut-il organiser 45 duels ? La solution passe par le calcul d'une combinaison de 2 éléments parmi 10, soit \(\binom{10}{2}\).
Exercice 4 : Problème sur une suite arithmético-géométrique
Cet exercice est un problème complet et concret modélisant l'évolution du nombre d'abonnés à une salle de sport. La situation est modélisée par une suite arithmético-géométrique \((a_n)\) de la forme \(a_{n+1} = 0.8 a_n + 450\).
- La première partie consiste à justifier la relation de récurrence.
- La deuxième partie est une étude approfondie de la suite \((a_n)\) : on démontre par récurrence qu'elle est minorée (par 2250), puis on prouve qu'elle est décroissante. Ces deux résultats permettent de conclure, grâce au théorème de la convergence monotone, que la suite est convergente.
- La troisième partie utilise la méthode classique d'étude des suites arithmético-géométriques en introduisant une suite auxiliaire \((b_n)\) qui se révèle être une suite géométrique. On en déduit l'expression explicite de \((b_n)\), puis celle de \((a_n)\). Le calcul de la limite de \((a_n)\) permet d'interpréter le comportement à long terme du nombre d'abonnés.
- La question finale est une mise en application : on utilise l'expression de la suite pour déterminer si le nombre d'abonnés passera un jour sous un certain seuil, ce qui implique de résoudre une inéquation.
Exercice 5 : Dénombrement et combinaisons
Ce dernier exercice est entièrement consacré au dénombrement. Timothée doit choisir 6 musées à visiter parmi 13 disponibles (8 d'art, 5 de science).
- La première partie traite des choix sans tenir compte de l'ordre (combinaisons). On calcule le nombre total de choix possibles, puis le nombre de choix respectant des contraintes précises : 'exactement 2 musées d'art' (utilisant le principe multiplicatif \(\binom{8}{2} \times \binom{5}{4}\)) et 'au moins 2 musées scientifiques' (en passant par l'événement contraire).
- La deuxième partie prend en compte l'ordre des visites. On calcule le nombre de manières d'ordonner 6 musées déjà choisis (permutation), puis on résout un problème plus complexe d'organisation des visites sur plusieurs jours.
Bonus : Limite de suite avec le théorème des gendarmes
Le bonus propose l'étude de la suite \(u_n = \frac{3^n}{\sqrt{n!}}\). Il faut d'abord montrer que le rapport \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est inférieur à \(\frac{3}{4}\) pour \(n\) assez grand. On en déduit ensuite un encadrement de la suite \(u_n\), ce qui permet de conclure sur sa limite en utilisant le théorème d'encadrement (ou des gendarmes).