Ce document propose le corrigé complet d'un sujet de mathématiques pour la classe de Terminale, spécialité maths. Ce contrôle, d'une durée d'une heure, porte sur deux chapitres essentiels du programme : la loi binomiale et l'étude des suites numériques. Idéal pour s'entraîner et réviser avant une évaluation, ce sujet balaye les compétences fondamentales de ces thèmes à travers trois exercices progressifs.

Téléchargez ce contrôle corrigé pour vous familiariser avec les types de questions qui peuvent être posées et pour maîtriser les méthodes de résolution. Chaque exercice est analysé en détail pour vous aider à comprendre les raisonnements et à identifier les points clés.

Exercice 1 : Application directe de la loi binomiale (5 points)

Cet exercice met en place un contexte classique d'épreuves de Bernoulli. Dans une classe de 35 élèves, dont 12 "experts" en mathématiques, un professeur interroge un élève au hasard à chaque cours, avec remise. Il s'agit d'un excellent cas d'école pour modéliser une situation à l'aide d'une loi binomiale.

• Question 1 : La première étape consiste à justifier que la variable aléatoire \(E\), comptant le nombre d'élèves "experts" interrogés, suit une loi binomiale. Il faut ici rigoureusement vérifier les conditions d'application : répétition d'une expérience de Bernoulli de manière indépendante, avec deux issues (succès/échec) et des probabilités constantes. Les paramètres de la loi, le nombre d'épreuves \(n\) et la probabilité de succès \(p = \frac{12}{35}\), doivent être clairement identifiés.
• Question 2 : On applique ensuite la formule de la loi binomiale pour calculer une probabilité ponctuelle. Pour \(n=10\) cours, on cherche la probabilité \(P(E=5)\). Le calcul fait intervenir les coefficients binomiaux : \(P(E=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\).
• Question 3 : Cette question est un classique qui demande de "renverser" le problème. On cherche le nombre de cours \(n\) minimal pour que la probabilité de n'interroger aucun "expert" soit inférieure à un seuil (0,05). Cela mène à résoudre l'inéquation \(P(E=0) < 0,05\), soit \((1-p)^n < 0,05\), en utilisant la fonction logarithme.
• Question 4 : La dernière question porte sur le calcul et l'interprétation de l'espérance mathématique d'une variable aléatoire binomiale. Pour \(n=40\) cours, on calcule \(E(E) = n \times p\) pour estimer le nombre moyen d'experts que le professeur peut s'attendre à interroger.

Exercice 2 : Problème concret et calculs de probabilités (5 points)

Le deuxième exercice aborde la loi binomiale sous un angle plus concret, celui du contrôle qualité dans un stock de pneus. Un garagiste sélectionne \(n\) pneus, et on s'intéresse au nombre de pneus défectueux.

• Question 1 : Comme pour l'exercice précédent, il est crucial de justifier l'utilisation de la loi binomiale. L'énoncé précise que le stock est assez grand pour assimiler le tirage à un tirage avec remise, garantissant ainsi l'indépendance des épreuves. Les paramètres \(n\) et \(p=0,065\) sont à déterminer.
• Question 2 : Pour \(n=12\) pneus, on demande de calculer deux types de probabilités :
  • La probabilité qu'aucun pneu ne soit défectueux : \(P(X=0)\).
  • La probabilité qu'au plus deux pneus soient défectueux : \(P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\). Ce calcul peut être fait à la main ou, plus efficacement, à l'aide de la fonction de répartition de la loi binomiale sur la calculatrice.
• Question 3 : Une question de prise de décision. Pour le changement de 4 pneus (\(n=4\)), on doit vérifier si la probabilité d'avoir au moins un pneu défectueux, \(P(X \ge 1)\), est supérieure à 0,5. L'astuce ici est de passer par l'événement contraire : \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)\).

Exercice 3 : Mêler suites numériques et probabilités (10 points)

Cet exercice, plus complexe, est un excellent problème de synthèse. Il combine l'étude des suites arithmétiques et géométriques avec les probabilités discrètes et la loi binomiale. Le point de départ est un dé tétraédrique déséquilibré.

• Question 1 : La première partie est un pur exercice sur les suites arithmétiques. Sachant que les probabilités \(p_1, p_2, p_3, p_4\) sont en progression arithmétique, que \(p_4 = 0,4\) et que la somme des probabilités est égale à 1 (\(\sum_{k=1}^{4} p_k = 1\)), il faut retrouver toutes les valeurs. Cela demande de mettre en place et de résoudre un système de deux équations à deux inconnues (le premier terme \(p_1\) et la raison \(r\)).
• Question 2 : On revient à des calculs de probabilités élémentaires sur des lancers indépendants, en utilisant les valeurs de \(p_k\) trouvées précédemment.
• Question 3 : On se place à nouveau dans le cadre d'un schéma de Bernoulli en répétant 10 fois le lancer du dé. La variable aléatoire \(X\) compte le nombre de "4" obtenus. Les questions sont un panel complet sur la loi binomiale :
  • Détermination de la loi de \(X\) et de ses paramètres (\(n=10, p=p_4=0,4\)).
  • Expression et calcul de probabilités ponctuelles (\(P(X=k)\), \(P(X=2)\)).
  • Calcul et interprétation de l'espérance \(E(X)\).
  • Calcul de probabilités cumulées, comme \(P(X \ge 1)\) et \(P(X \ge 3)\), en utilisant la calculatrice.
• Question 4 : La dernière partie de ce sujet de maths est la plus exigeante. On définit une nouvelle suite \((u_n)\) où \(u_n\) est la probabilité d'obtenir le premier "4" au \(n\)-ième lancer.
  • Il faut d'abord établir l'expression de \(u_n\), ce qui correspond à la définition d'une loi géométrique.
  • Ensuite, on doit prouver que \((u_n)\) est une suite géométrique, déterminer sa raison et sa limite.
  • Le calcul de la somme des termes \(S_n = \sum_{k=1}^{n} u_k\) est demandé, ainsi que l'étude de la convergence de la suite \((S_n)\).
  • Enfin, on termine par la résolution d'une inéquation (\(S_n > 0,999\)) pour trouver un rang à partir duquel la somme dépasse un certain seuil, ce qui nécessite à nouveau l'utilisation du logarithme.