Ce sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour la Terminale Spécialité est une excellente ressource pour réviser et s'entraîner sur plusieurs chapitres clés du programme : les suites numériques, les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. D'une durée indicative de 2 heures, ce devoir type bac couvre un large spectre de compétences exigibles à l'examen.
Exercice 1 : Étude d'une suite homographique
Ce premier exercice est un grand classique sur les suites définies par une relation de récurrence du type \( u_{n+1} = f(u_n) \). Ici, la suite \((u_n)\) est définie par \( u_0 = 3 \) et \( u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{2u_n + 5} \). Ce type d'exercice est fondamental pour la préparation au Baccalauréat en spécialité mathématiques.
- La première question vous guide en vous demandant d'étudier la fonction associée \( g(x) = \frac{3x+2}{2x+5} \). Il s'agit de déterminer son ensemble de définition, de calculer sa dérivée pour étudier son signe, et enfin de dresser son tableau de variation complet. Cette étape est cruciale car les propriétés de la fonction \( g \) conditionnent le comportement de la suite \( (u_n) \).
- La deuxième question est le cœur de l'exercice : un raisonnement par récurrence. Vous devez démontrer que pour tout entier naturel \( n \), on a \( 0 < u_{n+1} < u_n \). Cette double inégalité prouve à la fois que la suite est décroissante (\( u_{n+1} < u_n \)) et minorée par 0. La rédaction rigoureuse de l'initialisation et de l'hérédité est ici primordiale.
- Enfin, la dernière question vous amène à synthétiser les résultats. Ayant prouvé que la suite est décroissante et minorée, vous pouvez appliquer le théorème de la limite monotone (ou théorème de convergence monotone) pour affirmer que la suite \((u_n)\) est convergente. Pour trouver sa limite \(L\), il suffit de résoudre l'équation du point fixe \( L = g(L) \), c'est-à-dire \( L = \frac{3L+2}{2L+5} \), tout en s'assurant que la limite trouvée est cohérente avec les bornes de la suite.
Exercice 2 : Suite récurrente linéaire d'ordre 2
Cet exercice aborde un autre type de suite, les suites récurrentes linéaires d'ordre 2, définies ici par \( u_0 = 0, u_1 = \frac{1}{2} \) et \( \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2} = u_{n+1} - \frac{1}{4}u_n \). La méthode de résolution passe par l'introduction d'une suite auxiliaire.
- On introduit une suite auxiliaire \( (w_n) \) définie par \( w_n = u_{n+1} - \frac{1}{2}u_n \). La première étape consiste à démontrer que cette suite \( (w_n) \) est une suite géométrique. Pour cela, on exprime \( w_{n+1} \) en fonction de \( u_{n+2} \) et \( u_{n+1} \), puis on utilise la relation de récurrence de \( (u_n) \) pour finalement obtenir une relation du type \( w_{n+1} = q \cdot w_n \). Il faudra également calculer son premier terme \( w_0 \).
- Une fois la nature de \( (w_n) \) établie, on peut en déduire son expression explicite en fonction de \( n \). Les questions 2 et 3 vous guident pour passer de l'expression de \( w_n \) à celle de \( u_n \), et montrer que \( u_n = n \left(\frac{1}{2}\right)^n \). Cette démonstration peut se faire par un raisonnement par récurrence.
- Les dernières questions portent sur l'étude du comportement de la suite \( (u_n) \). Il faut montrer qu'elle est décroissante à partir d'un certain rang, en étudiant par exemple le signe de \( u_{n+1} - u_n \). Enfin, on conclut sur sa convergence et on détermine sa limite, qui fait appel aux théorèmes de croissances comparées (limite de la forme \( n \cdot q^n \) avec \( |q| < 1 \)).
Exercice 3 : Calcul de limites de suites
Cet exercice est un QCM de compétences sur différentes techniques de calcul de limites de suites, essentielles à maîtriser en Terminale.
- Le premier cas, \( u_n = \frac{1+5^n}{2+3^n} \), présente une forme indéterminée de type " \( \frac{\infty}{\infty} \) ". La technique consiste à factoriser par le terme dominant au numérateur et au dénominateur pour lever l'indétermination.
- Le deuxième cas utilise le théorème d'encadrement, plus connu sous le nom de théorème des gendarmes. La suite \( (u_n) \) est encadrée par deux autres suites qui convergent vers la même limite.
- Le troisième cas, \( u_n = 1 + \frac{3}{4} + \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \dots + \left(\frac{3}{4}\right)^n \), demande de reconnaître la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique. Il faut appliquer la formule de la somme puis calculer la limite de l'expression obtenue.
Exercice 4 : Probabilités conditionnelles et loi binomiale
Ce dernier exercice, riche et complet, balaie une grande partie du programme de probabilités de Terminale. Il se décompose en deux parties distinctes mais liées par le contexte.
Partie 1 : Probabilités conditionnelles
Le contexte est celui d'une bibliothèque musicale. La première partie se concentre sur l'analyse d'un tirage unique.
- La première question est un incontournable : construire un arbre pondéré pour modéliser la situation. C'est l'outil qui permet de visualiser et d'organiser toutes les données de l'énoncé.
- Les questions suivantes sont des applications directes de la lecture de l'arbre : calcul d'une probabilité d'intersection, test de l'indépendance de deux événements et calcul de probabilités conditionnelles en utilisant la formule des probabilités totales.
Partie 2 : Loi binomiale
La seconde partie change d'échelle : on observe 60 écoutes successives et indépendantes.
- Il faut d'abord identifier et justifier le modèle probabiliste. On répète \( n=60 \) fois la même expérience de Bernoulli de manière indépendante. La variable aléatoire \(X\) comptant le nombre de succès suit donc une loi binomiale \( \mathcal{B}(n,p) \).
- On applique ensuite les formules du cours pour calculer l'espérance \(E(X) = np\) et la variance \(V(X) = np(1-p)\) et interpréter l'espérance.
- Enfin, l'exercice se termine par des calculs de probabilités concrets avec la loi binomiale : calcul de \(P(X=k)\) avec la formule, et calcul de \(P(X \le k)\) et de probabilités sur des intervalles à l'aide de la calculatrice.