Découvrez un sujet de contrôle de mathématiques complet pour la classe de Terminale spécialité, axé sur deux chapitres fondamentaux du programme : la loi binomiale et les limites de fonctions, avec une attention particulière pour la fonction exponentielle. Ce sujet, d'une durée d'1h30, est idéal pour réviser et s'évaluer en conditions réelles. Retrouvez une analyse détaillée de chaque exercice, vous permettant de comprendre les compétences attendues et les méthodes de résolution. Ce document est une ressource précieuse pour les élèves visant la réussite au baccalauréat.

Exercice 1 : Application de la Loi Binomiale (8,5 points)

Cet exercice propose une mise en situation concrète pour appliquer la loi binomiale. Le contexte est celui d'un portique de sécurité dans un aéroport, où 80 personnes doivent passer. La probabilité qu'une personne fasse sonner le portique est fixée à \(p = 0.021\). On étudie la variable aléatoire \(X\) qui compte le nombre de personnes faisant sonner le portique.

• Question 1 : Justification de la loi binomiale. Il est demandé de prouver que la variable aléatoire \(X\) suit bien une loi binomiale. Cela implique de vérifier les conditions d'une épreuve de Bernoulli (succès/échec), la répétition de \(n\) épreuves identiques et indépendantes, et d'identifier les paramètres \(n=80\) et \(p=0.021\).
• Question 2 : Calcul et interprétation de l'espérance. Cette question classique teste la connaissance de la formule de l'espérance pour une loi binomiale, \(E(X) = n \times p\). Au-delà du calcul, il faut savoir interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice, c'est-à-dire le nombre moyen de personnes que l'on peut s'attendre à voir faire sonner le portique.
• Question 3 : Calculs de probabilités. Plusieurs calculs sont demandés, nécessitant l'utilisation de la calculatrice pour obtenir des résultats précis (arrondis à \(10^{-3}\)) :
  • a. Calcul de \(P(X = 4)\) : la probabilité qu'exactement 4 personnes déclenchent l'alarme.
  • b. Calcul de \(P(X \le 5)\) : la probabilité qu'au maximum 5 personnes fassent sonner le portique. Cela fait appel à la fonction de répartition de la loi binomiale.
  • c. Calcul de \(P(X \ge 4)\) : la probabilité qu'au moins 4 personnes fassent sonner le portique. Cette probabilité se calcule souvent en utilisant l'événement contraire : \(1 - P(X \le 3)\).
• Question 4 : Recherche d'un seuil. La dernière question consiste à trouver le plus petit entier \(k\) tel que \(P(X \le k) \ge 0,9\). Cette compétence requiert de savoir utiliser les fonctions de la calculatrice (tableur ou fonction de répartition inverse) pour trouver un rang à partir d'un seuil de probabilité.

Exercice 2 : Étude de Fonctions et Limites (11,5 points)

Ce deuxième exercice est une analyse de fonction très complète, centrée sur la fonction exponentielle et les limites par croissance comparée. Il est structuré pour évaluer la compréhension des théorèmes du cours et leur application dans une étude de fonction détaillée.

• Question 1 : Démonstration de cours. L'objectif est de redémontrer un résultat de croissance comparée.
  • On commence par étudier les variations de la fonction auxiliaire \(g(x) = e^x - x\) sur \([0, +\infty[\). Cela implique de calculer sa dérivée \(g'(x) = e^x - 1\) et d'étudier son signe.
  • À partir du tableau de variation, on en déduit le signe de \(g(x)\), ce qui permet d'établir l'inégalité \(e^x \ge x + 1\) pour tout \(x\) positif.
  • Finalement, cette inégalité est utilisée pour démontrer par comparaison la limite de \(\frac{e^x}{x}\) en \(+\infty\). C'est une excellente question pour vérifier la maîtrise des théorèmes de comparaison.
• Question 2 : Formes indéterminées et croissances comparées. Cette question demande d'identifier, parmi plusieurs propositions, les limites qui correspondent à des formes indéterminées et qui sont levées grâce aux formules de croissance comparée (par exemple \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}\) ou \(\lim_{x \to -\infty} xe^x\)).
• Question 3 : Étude complète de la fonction \(f(x) = xe^{-x}\).
  • a. Calcul de la limite de \(f\) en \(-\infty\). C'est une limite par produit qui ne présente pas de forme indéterminée.
  • b. Calcul de la limite de \(f\) en \(+\infty\). Il s'agit de démontrer que \(\lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = 0\) en utilisant les croissances comparées. L'interprétation graphique de ce résultat (existence d'une asymptote horizontale d'équation \(y=0\)) est également demandée.
  • c. Calcul de la dérivée : il faut montrer que \(f'(x) = (1-x)e^{-x}\) en utilisant la formule de dérivation d'un produit.
  • d. Dresser le tableau de variation complet de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) en étudiant le signe de la dérivée.
  • e. Détermination de l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0, en appliquant la formule \(y = f'(0)(x-0) + f(0)\).

En bonus, un problème facultatif sur les 'sangaku' japonais est proposé, offrant un défi géométrique original pour les plus curieux.