Ce contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale spécialité est une excellente ressource pour réviser des chapitres fondamentaux du programme : les suites numériques et l'étude de fonctions (dérivation et convexité). Le sujet, d'une durée de 2 heures, est décomposé en deux exercices complets qui balayent des compétences clés attendues pour le baccalauréat. Ce document est un support idéal pour s'entraîner, avec un corrigé détaillé implicite dans l'analyse des compétences. Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale spécialité, suites, dérivation, convexité, fonction exponentielle, bac.

Exercice 1 : Étude d'une population de baleines (10 points)

Cet exercice est un problème de modélisation classique utilisant les suites. On étudie l'évolution du nombre de baleines au large de Cape Town, modélisée par une suite \((u_n)\).

• Mise en place du modèle : Les premières questions consistent à s'approprier le contexte. On vérifie le calcul du terme \(u_1\) et on justifie la relation de récurrence \(u_{n+1} = 0,92 u_n + 69\). Cette étape est cruciale pour reconnaître que l'on a affaire à une suite arithmético-géométrique.
• Étude de la suite \((u_n)\) : La question 4 est une analyse complète du comportement de la suite, sans utiliser sa forme explicite.
  • On commence par une démonstration par récurrence pour prouver que la suite est minorée par 862,5. C'est une application directe de la méthode de récurrence sur une inégalité.
  • On en déduit ensuite le sens de variation de la suite, qui se révèle être décroissante.
  • Enfin, en combinant les deux points précédents (suite décroissante et minorée), on applique le théorème de la convergence monotone pour conclure que la suite \((u_n)\) est convergente.
• Forme explicite et limite : La question 5 introduit une suite auxiliaire \((v_n)\) définie par \(v_n = u_n - 862,5\).
  • On démontre que \((v_n)\) est une suite géométrique, ce qui est la méthode standard pour les suites arithmético-géométriques. On précise sa raison et son premier terme.
  • Grâce à la forme explicite de \((v_n)\), on trouve celle de \((u_n)\).
  • On calcule alors la limite de la suite \((u_n)\), qui est la limite du point fixe, et on interprète ce résultat dans le contexte du problème : la population de baleines va-t-elle se stabiliser au-dessus ou en dessous du seuil de danger ?
• Algorithmique : La question 6 demande de compléter une fonction Python utilisant une boucle `while` pour déterminer l'année à partir de laquelle la population passera sous le seuil de 1000 individus. Cela teste la compétence à traduire une situation mathématique en algorithme de seuil.

Exercice 2 : Modélisation d'une épidémie (10 points)

Le second exercice porte sur l'analyse d'une fonction. Le nombre de malades (en milliers) est modélisé par la fonction \(f\) définie sur \([0; 60]\) par \(f(x) = x^2 e^{-0,1x}\). L'énoncé fournit la courbe représentative de la fonction ainsi que la tangente en un point.

• Lectures graphiques : La première question est entièrement basée sur l'interprétation du graphique fourni. On demande de conjecturer le maximum de la fonction, le coefficient directeur d'une tangente (qui est le nombre dérivé), et le nombre et la position des points d'inflexion.
• Calculs de dérivées : On passe ensuite à l'étude analytique.
  • La question 2 demande de calculer la dérivée première \(f'(x)\). Cela nécessite la maîtrise de la dérivée d'un produit et de la dérivée d'une fonction composée avec l'exponentielle.
  • La question 5 utilise la dérivée seconde \(f''(x)\), dont l'expression est donnée par un logiciel de calcul formel.
• Tangente et variations :
  • En question 3, on calcule l'équation de la tangente à la courbe en un point d'abscisse 10, une application directe des formules du cours.
  • En question 4, on étudie le signe de la dérivée \(f'(x)\) pour dresser le tableau de variations complet de la fonction \(f\).
• Convexité et point d'inflexion : La question 5 se concentre sur l'étude de la convexité de la fonction \(f\).
  • À l'aide du signe de la dérivée seconde \(f''(x)\), on détermine les intervalles sur lesquels la fonction est convexe ou concave.
  • On justifie l'existence d'un unique point d'inflexion sur un intervalle donné et on interprète son abscisse dans le contexte de l'épidémie (le moment où la vitesse de propagation ralentit).
• Conclusion : La dernière question demande de valider ou d'invalider les conjectures graphiques de la première question grâce aux résultats obtenus par le calcul, bouclant ainsi la démarche scientifique d'observation, de conjecture et de démonstration.