Découvrez le corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour les élèves de Terminale spécialité. Ce sujet, d'une durée d'1h30, couvre plusieurs chapitres clés du programme : la géométrie dans l'espace, l'étude des suites numériques et l'analyse de fonctions. Ce document est une ressource idéale pour s'entraîner, réviser et comprendre les attendus d'une évaluation de fin d'année.

Ce contrôle est composé de deux exercices principaux, balayant un large spectre de compétences, de la manipulation des vecteurs à l'application de théorèmes fondamentaux sur les fonctions et les suites.

Exercice 1 : Géométrie dans l'espace (8 points)

Cet exercice prend appui sur une figure composée de deux cubes de même taille, ABCDEFGH et BIJCFLKG, placés côte à côte. Il vise à évaluer la maîtrise des outils vectoriels dans un cadre géométrique tridimensionnel.

• Question 1 : Construction de points

  La première partie consiste à construire des points définis par des relations vectorielles. Il faut placer :

  • Le point Y tel que \(\vec{IY} = -2\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE}\).
  • Le point Z tel que \(\vec{GZ} = \vec{AB} - \vec{AD} - \vec{DH}\).

  Cette question teste la capacité à interpréter et à construire des sommes et des produits de vecteurs par un scalaire dans l'espace.

• Question 2 : Combinaison linéaire de vecteurs

  Il est ensuite demandé d'exprimer des vecteurs comme combinaison linéaire d'une base de vecteurs donnée, en l'occurrence \((\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\). Les vecteurs à décomposer sont :

  • Le vecteur \(\vec{IG}\).
  • Le vecteur \(\vec{CE}\).

  Cette partie requiert une utilisation habile de la relation de Chasles et la connaissance des propriétés géométriques du cube.

• Question 3 : QCM sur les positions relatives de droites

  La dernière partie est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) portant sur la position relative de différentes paires de droites dans la figure. Pour chaque couple, il faut déterminer si les droites sont sécantes, strictement parallèles, confondues ou non coplanaires. Les paires étudiées sont :

  • (EF) et (JK)
  • (EL) et (AK)
  • (HC) et (KJ)
  • (GL) et (DI)

  Ce QCM évalue la vision dans l'espace et la capacité à justifier la position relative de droites en s'appuyant sur les propriétés des cubes (parallélisme des faces, colinéarité des vecteurs...).

Exercice 2 : Suites et fonctions (12 points)

Ce second exercice, plus long, est divisé en deux parties indépendantes. Il aborde l'étude d'un modèle discret (une suite) puis d'un modèle continu (une fonction) dans un contexte de biologie (nourriture et population de koalas).

Partie A : Étude d'un modèle discret

On modélise le pourcentage de feuilles d'eucalyptus comestibles par une suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0,6\) et la relation de récurrence \(u_{n+1} = u_n - 0,4(u_n)^2\). On introduit la fonction \(f(x) = x - 0,4x^2\) telle que \(u_{n+1} = f(u_n)\).

• Question 1 : Étude des variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0; 1]\). Cela implique de calculer la dérivée \(f'(x)\), d'étudier son signe et de dresser le tableau de variations complet.
• Question 2 : Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), on a \(0 \le u_{n+1} \le u_n \le 1\). C'est une question classique qui combine le raisonnement par récurrence avec les résultats de l'étude de fonction précédente.
• Question 3 : En déduire la convergence de la suite \((u_n)\). Cette déduction s'appuie sur le théorème de la limite monotone (ou théorème de convergence monotone) : toute suite décroissante et minorée est convergente.
• Question 4 : Déterminer la limite de la suite \((u_n)\). La continuité de la fonction \(f\) permet d'affirmer que la limite \(L\) de la suite est un point fixe de \(f\), c'est-à-dire une solution de l'équation \(f(L) = L\).

Partie B : Étude d'un modèle continu d'évolution

On étudie maintenant le nombre de koalas à l'aide de la fonction \(g\) définie sur \([0; 20]\) par \(g(t) = \frac{1000}{0,4 + 3,6 e^{-0,5t}}\).

• Question 1 : Dresser le tableau de variations de \(g\). Il faut pour cela calculer la dérivée \(g'(t)\), qui fait intervenir la fonction exponentielle, et déterminer son signe sur l'intervalle d'étude.
• Question 2 : Démontrer l'existence d'une unique solution \(\alpha\) à l'équation \(g(\alpha) = 2000\) dans l'intervalle \([0; 20]\). Cette question est une application directe du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour les fonctions continues et strictement monotones.
• Question 3 : Déterminer l'année au cours de laquelle la population de koalas dépassera 2000 individus. Il s'agit de résoudre l'inéquation \(g(t) > 2000\), ce qui mène à la résolution d'une inéquation avec la fonction exponentielle.