Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3

Introduction

Allez les amis, on est parti dans cette vidéo pour comprendre comment utiliser le théorème de majoration et de minoration et surtout voir à quoi ressemble un exercice où vous devez l'utiliser parce que c'est ça qui vous intéresse en contrôle. On y va.

Le théorème de majoration et minoration

Le théorème de majoration et minoration a toujours la même tête quand vous le croisez. On va vous donner une suite, on va vous demander d'étudier ses variations et ensuite on va vous demander de parler de convergence. Donc je vous rappelle rapidement le théorème de majoration. C'est un midi, c'est pas compliqué. Si j'ai une suite \(u_n\) qui est plus petite qu'un certain nombre, par exemple plus petite que trois, ça veut dire que quand je vais représenter \(u_n\), je suis obligée de rester en dessous de cette barre là. Si en plus de ça, \(u_n\) a la bonne idée d'être strictement croissante, c'est à dire si quand je représente \(u_n\), je fais que monter, forcément à un moment je vais devoir m'arrêter. Est-ce que je m'arrête à 3? Est-ce que la convergence va se faire vers 3? Est-ce que la limite c'est 3? Pas nécessairement, parce que je peux effectivement aller le coller à trois mais je pourrais très bien sous ces deux conditions d'être plus petit que 3 et être strictement croissant, m'arrêter avant. Donc retenez que le théorème de majoration et minoration, il vous donne jamais la valeur de la limite. Il vous permet juste de dire qu'il existe une limite. Qu'est-ce qu'elle vaut? Est-ce qu'elle vaut 3? Est-ce qu'elle vaut 2,1? Franchement, oubliez tout ce que vous pouvez statuer et c'est qu'il existe cette limite.

Exercice sur le théorème de majoration et minoration

Dans les exercices sur le théorème de majoration et minoration, il y a plusieurs versions. Moi, je vous en donne une version un peu plus corsée. Une version plus simple, ça aurait été d'avoir une question 0 par exemple qui dirait "montrez que la suite est majorée ou minorée par trois", ensuite question de "montrer que la suite \(u_n\) est strictement croissante", question 3 "en déduire la convergence de \(u_n\)". On vous prend vraiment pour des teubés, c'est pas le but. Moi, je vous ai mis un exercice comme on en met trop au contrôle, donc qui sont relativement durs. Alors on commence par étudier les variations de \(u_n\). Donc ça, c'est du programme de première, on vous met le lien ici vers la vidéo. Il y a trois techniques pour étudier les variations d'une suite. La première, c'est de faire la différence et d'étudier le signe. La deuxième, c'est de faire le quotient et de voir si c'est plus grand ou plus petit que 1. Et la troisième, quand une suite est définie de manière explicite, c'est à dire comme c'est le cas ici, directement en fonction de \(n\), c'est d'étudier la fonction \(u_{n+1} = f(u_n)\). Moi, je vais partir sur la première technique, c'est à dire je veux faire \(u_{n+1} - u_n\) et je vais vous demander est-ce que c'est positif, est-ce que c'est négatif. Donc \(u_{n+1}\) c'est \(4 - \frac{1}{2^{n+1}} - u_n\) donc \(4 - \frac{1}{2^n}\). Alors je vais enlever ces parenthèses donc changer les signes. Ça fait \(4 - \frac{1}{2^{n+1}} - 4 + \frac{1}{2^n}\). \(4\) et \(-4\) ils s'en vont, il me reste \(- \frac{1}{2^{n+1}} + \frac{1}{2^n}\). Petite astuce qu'on a répété vingt mille fois en première et qu'on répète au terminal parce que c'est toujours pas acquis, c'est que quand vous avez \(a^{b+c}\), ça fait \(a^b \times a^c\). Donc notamment quand vous avez \(a^{n+1}\), vous pouvez le séparer en \(a^n \times a\). Donc \(- \frac{1}{2^{n+1}}\), je le casse en \(- \frac{1}{2^n} \times \frac{1}{2}\). Donc ça fait \(- \frac{1}{2^n} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2^n}\). Regardez maintenant, je veux factoriser. J'ai \(- \frac{1}{2^n}\) et \(\frac{1}{2^n}\). Donc ça me fait \(\frac{1}{2^n}\) facteur de \(- \frac{1}{2} + 1\). C'est à dire \(\frac{1}{2^n} \times \frac{1}{2}\). Et donc ça fait \(\frac{1}{2^n} \times \frac{1}{2}\). Et je m'arrête là, pourquoi? Tout simplement parce que \(\frac{1}{2^n}\) c'est positif, \(\frac{1}{2}\) c'est positif, donc \(\frac{1}{2^n} \times \frac{1}{2}\) c'est forcément positif. Donc \(u_n\) est croissante. Félicitations, vous venez d'étudier le signe. Donc là, vous êtes content, vous avez trouvé que la fonction est croissante. Question 2, en déduire la convergence de la suite. Vous vous dites, une question sur les variations, une question sur la convergence, forcément c'est le théorème de majoration et minoration. Sauf que votre majoration n'a pas été faite. À aucun moment on vous a dit, on vous a pris par la main pour vous dire "montrez que \(u_n\) est majorée par quelque chose". Ça veut dire quoi? Ça veut dire que vous allez devoir vous débrouiller tout seul. Donc comment on peut la faire cette majoration? Bien, regardons la tête de \(u_n\). C'est \(4 - \frac{1}{2^n}\). Autrement dit, je prends 4 et je lui enlève \(\frac{1}{2^n}\). \(\frac{1}{2^n}\) c'est positif. Donc si je prends 4 et que je lui enlève par exemple 3, je suis plus petit par rapport à 4. Si j'enlève 5, je suis plus petit. Si j'enlève 20, je suis plus petit. En fait, vu que \(\frac{1}{2^n}\) est positif, \(4 - \frac{1}{2^n}\) c'est plus petit que \(4 - 0\), c'est à dire que c'est plus petit que 4. Donc en plus de ça, on a \(u_n\) qui est majoré par 4. D'autre part, \(u_n\) est croissante. Donc d'après le théorème de majoration, \(u_n\) converge. Et c'est terminé, vous venez de démontrer la convergence. Attention, ne vous dites surtout pas à ce stade "d'après le théorème de majoration, la limite de \(u_n\) c'est 4". Ça ne prouve rien. Pourquoi? Parce que on le majeure par 4, on pourrait aussi le majeurer par 5, 6 et le petit \(k\) tel que \(k > 5\). Donc un autre majorant c'est 5 et pourtant la limite de \(u_n\) ce n'est pas 5. Donc ce n'est pas cette question là qui va vous permettre de donner la limite. Tout ce qu'elle va vous permettre de faire, c'est de montrer que cette limite existe. En maths, à partir de la terminale et dans les études supérieures, il y a beaucoup de problèmes où on va non pas chercher la solution, mais essayer de montrer que cette solution, ben elle existe. Et en fait, en maths, dire "je peux prouver que la solution existe", c'est un kiff à peu près aussi grand que dire "je connais la solution", si vous voyez ce que je veux dire. Donc pour étudier la limite de la suite, on aurait pu faire beaucoup plus simple. \(\frac{1}{2^n}\) c'est une suite géométrique de raison \(\frac{1}{2}\) avec \(q\) compris entre \(-1\) et \(1\), ça tend vers zéro. \(4 - 0\) ça fait 4. La limite de \(u_n\) c'est effectivement 4. Sauf que vous ne pouvez pas le dire à partir de cette question. Il aurait fallu faire une étude de limites. Le plaisir, le plaisir. On vous a mis des exercices en dessous. Certains sont plus simples, c'est à dire qu'on a commencé par vous demander de montrer la majoration ou minoration, ensuite les variations. Certains sont plus corsés comme celui-là. Quoi qu'il en soit, amusez-vous. Tant que vous réussissez à faire ceux qui sont plus difficiles, on vous en a mis un paquet. Vous êtes les meilleurs.