Ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale spécialité est une évaluation complète portant sur les chapitres des suites numériques, des limites de fonctions, de la dérivation et de la convexité. D'une durée de 2 heures, il est conçu pour tester en profondeur la compréhension des concepts et la capacité à les appliquer dans des problèmes variés. Retrouvez ci-dessous une analyse détaillée de chaque exercice de ce devoir corrigé.

Exercice 1 : Étude de suites (Population de tortues)

Cet exercice de 7,5 points se divise en deux parties et modélise l'évolution d'une population de tortues à l'aide de suites récurrentes.

• Partie A : On étudie la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 0,3 \) et \( u_{n+1} = 0,9 u_n(1 - u_n) \). Cette partie évalue plusieurs compétences :
  • Le calcul des premiers termes d'une suite récurrente (\( u_1 \) et \( u_2 \)).
  • La manipulation d'inégalités et la démonstration que \( 0 \le u_{n+1} \le 0,9 u_n \).
  • La mise en place d'un raisonnement pour prouver par récurrence ou par itération que \( 0 \le u_n \le 0,3 \times 0,9^n \).
  • La détermination de la limite de la suite \( (u_n) \) en utilisant le théorème des gendarmes, et l'interprétation du résultat (tendance vers l'extinction).
  • La complétion d'un algorithme Python avec une boucle while pour déterminer à partir de quelle année la population passe sous un seuil critique.
• Partie B : Une nouvelle suite \( (v_n) \) est introduite pour modéliser une population modifiée : \( v_{10} = 0,032 \) et \( v_{n+1} = 1,06 v_n(1 - v_n) \). Il est demandé de :
  • Calculer les premiers termes pour évaluer l'évolution à court terme.
  • Trouver la limite potentielle \( l \) de la suite, sachant qu'elle converge, en résolvant l'équation du point fixe \( l = 1,06 l(1 - l) \).
  • Conclure sur le risque d'extinction de la population dans ce nouveau modèle, en analysant la valeur de la limite.

Exercice 2 : Limites de fonctions et Asymptotes

Cet exercice de 7 points est centré sur l'étude de deux fonctions et de leurs propriétés asymptotiques.

• Partie A : L'étude porte sur la fonction \( f(x) = \sqrt{\frac{4x^2 + x + 1}{x^2}} \).
  • Détermination de l'ensemble de définition.
  • Démonstration d'un encadrement de \( 4x^2 + x + 1 \) pour en déduire un encadrement de \( f(x) \).
  • Application du théorème des gendarmes pour calculer la limite de \( f \) en \( +\infty \).
  • Interprétation graphique de cette limite en termes d'asymptote horizontale.
• Partie B : On analyse la fonction \( g(x) = \frac{4x^2 + x + 1}{x+2} \).
  • Calcul des limites aux bornes de l'ensemble de définition (\( \pm\infty \) et autour de -2).
  • Identification d'une asymptote verticale.
  • Démonstration de l'existence d'une asymptote oblique en réécrivant \( g(x) \) sous la forme \( 4x - 7 + \frac{15}{x+2} \).
  • Étude de la position relative de la courbe par rapport à son asymptote oblique en étudiant le signe du terme résiduel.

Exercice 3 : Identification de paramètres d'une fonction

Cet exercice court de 3 points est un problème de "synthèse" où il faut retrouver les paramètres d'une fonction homographique \( f(x) = \frac{x+b}{cx+d} \) à partir d'informations sur son comportement asymptotique et en un point. Les élèves doivent utiliser leurs connaissances sur :

• Le lien entre la limite en \( \pm\infty \) et les coefficients pour trouver \( c \) (asymptote horizontale \( y=2 \)).
• Le lien entre la valeur qui annule le dénominateur et l'abscisse de l'asymptote verticale pour trouver \( d \) (asymptote verticale \( x=-1 \)).
• L'utilisation d'une condition supplémentaire (\( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \)) pour déterminer le dernier paramètre \( b \).

Exercice 4 : Inégalité de Bernoulli et Convexité

Ce dernier exercice de 2,5 points propose une démonstration de l'inégalité de Bernoulli \( (1+x)^n \ge 1+nx \) via l'étude de fonction. La démarche guidée permet d'évaluer la maîtrise des outils de dérivation et de convexité.

1. Introduction de la fonction \( f(x) = (1+x)^n \).
2. Calcul de la dérivée seconde \( f''(x) \) pour montrer que la fonction \( f \) est convexe sur \( [0; +\infty[ \).
3. Détermination de l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
4. Conclusion en utilisant la propriété fondamentale de la convexité : une fonction convexe est toujours située au-dessus de ses tangentes. Cela établit la position relative de la courbe et de sa tangente, ce qui prouve l'inégalité.

Ce contrôle corrigé est un excellent outil de révision pour les élèves de Terminale spécialité Maths, couvrant un large spectre de compétences essentielles sur les suites, les limites et l'analyse de fonctions.