Introduction
Allez les amis, on est parti pour une deuxième manière de trouver la convexité d'une fonction en regardant la tête de la dérivée de la fonction. On se fait ça tout de suite. Pour rappel, vous avez vu jusqu'à présent une manière de voir la convexité, c'est de regarder si la fonction est en dessous ou au dessus de ses tangentes. Pour mémoire, ça revient à dire : est-ce que c'est concave avec un "U" ou est-ce que c'est convexe avec un "V". J'ai l'air d'un idiot à dire ça comme ça, mais c'est le meilleur moyen que j'ai trouvé.
Deuxième technique : la dérivée
La deuxième technique que vous avez dans votre boîte à outils, c'est de regarder la dérivée. Plutôt que de regarder \(f\), on va regarder \(f'\). Si \(f'\) est croissante, ça veut dire que la fonction est convexe. Si \(f'\) est décroissante, c'est à dire que la fonction est concave. Donc dans ce genre d'exercice, soit on vous donne \(f'\) représentée graphiquement et vous regardez si elle est croissante ou décroissante, et du coup déterminez si la fonction est concave ou convexe. Soit vous allez étudier les variations de \(f'\) en dérivant une fois de plus. Mais ça, c'est l'objet de la vidéo d'après, c'est à dire étudier avec les dérivées secondes.
Exemple
Dans notre cas, pour \(f'\), on détermine les intervalles sur lesquels \(f'\) est croissante. C'est très simple, elle croît ici, elle croît là, elle croît ici, elle s'arrête là. Donc sur cet intervalle, \(f'\) est croissante donc \(f\) est convexe. Sur cet intervalle, \(f'\) est décroissante donc \(f\) est concave. Et sur cet intervalle, \(f\) est convexe, et ainsi de suite. Il n'y a rien de plus simple que ça.
Comment ça s'appelle les points où elle change de convexité, où elle passe de concave à convexe ? Excellent, ce sont les points d'inflexion. On vous a mis des exercices en dessous pour jouer. C'est presque fini pour le chapitre, on se retrouve tout de suite.