BAC Blanc de Maths Terminale : Sujet et Corrigé Détaillé

Ce sujet de BAC Blanc en mathématiques pour la terminale spécialité est un excellent entraînement pour l'épreuve finale. D'une durée de 4 heures, il balaye une grande partie du programme à travers quatre exercices complets : étude de suites, analyse de fonctions, géométrie dans l'espace et probabilités. Ce sujet corrigé vous permettra de tester vos connaissances et de vous familiariser avec le type de questions posées au baccalauréat.

Exercice 1 : Étude d'une suite numérique (5 points)

Cet exercice se concentre sur l'étude d'une suite \((u_n)\) définie par récurrence par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \frac{4u_n}{u_n + 4}\). C'est un grand classique qui teste plusieurs compétences fondamentales.

• Conjecture et récurrence : La première partie vous invite à conjecturer une expression à partir d'un tableau de valeurs, puis à utiliser le raisonnement par récurrence pour démontrer une propriété de la suite (ici, que \(u_n > 0\)).
• Sens de variation et convergence : Il faut ensuite démontrer que la suite est décroissante en étudiant le signe de \(u_{n+1} - u_n\). La combinaison d'une suite décroissante et minorée permet de conclure à sa convergence grâce au théorème de la limite monotone.
• Suite auxiliaire : Pour trouver la forme explicite de \((u_n)\), l'exercice introduit une suite auxiliaire \((v_n)\) définie par \(v_n = \frac{4}{u_n}\). Il s'agit de démontrer que \((v_n)\) est une suite arithmétique, de trouver sa raison et son premier terme, puis d'en déduire son expression explicite.
• Limite de la suite : Une fois l'expression de \(v_n\) trouvée, on en déduit celle de \(u_n\) puis on calcule sa limite, ce qui confirme la conjecture initiale.

Exercice 2 : Analyse de fonctions (6 points)

Cet exercice porte sur l'analyse de deux fonctions avec exponentielle, \(f(x) = x^2e^{-x}\) et \(g(x) = e^{-x}\). Il aborde des notions clés d'étude de fonctions.

• Position relative : La première question demande de déterminer les points d'intersection des deux courbes et d'étudier leur position relative en analysant le signe de la différence \(f(x) - g(x)\).
• Optimisation : On étudie ensuite la distance \(d(x)\) entre les deux courbes sur l'intervalle \([-1, 1]\). Il s'agit d'un problème d'optimisation où il faut dériver la fonction \(d(x)\), étudier le signe de sa dérivée \(d'(x)\) pour dresser son tableau de variation et trouver la valeur de \(x\) pour laquelle la distance est maximale.
• Convexité et points d'inflexion : En utilisant la dérivée seconde \(f''(x)\) (donnée dans l'énoncé), il faut étudier la convexité de la fonction \(f\) en analysant le signe de \(f''(x)\). Cela permet de déterminer les intervalles où la fonction est convexe ou concave et de trouver les coordonnées des éventuels points d'inflexion.
• Théorème des valeurs intermédiaires : La dernière question utilise le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour déterminer l'abscisse du point d'intersection entre la courbe \(C_g\) et une droite. Cela implique de définir une fonction auxiliaire, de prouver qu'elle est continue et strictement monotone, puis de montrer que l'équation \(h(x) = 0\) admet une unique solution sur un intervalle donné.

Exercice 3 : Géométrie dans l'espace (4 points)

Cet exercice de géométrie vectorielle se déroule dans un cube et évalue la capacité à travailler avec et sans repère.

• Vecteurs et parallélisme : La première question se résout sans repère en utilisant le calcul vectoriel (relation de Chasles) pour démontrer si deux droites sont parallèles.
• Coordonnées et coplanarité : On se place ensuite dans un repère orthonormé pour déterminer les coordonnées de points et démontrer que trois vecteurs sont coplanaires, par exemple en montrant qu'il existe une relation de dépendance linéaire entre eux.
• Représentations paramétriques et intersection de droites : Une partie importante de l'exercice consiste à manipuler les représentations paramétriques de droites. Il faut savoir en établir une pour une droite passant par deux points, puis déterminer si deux droites sont sécantes en résolvant le système d'équations formé par leurs représentations paramétriques.

Exercice 4 : Probabilités conditionnelles et Loi Binomiale (5 points)

Cet exercice classique de probabilités est divisé en deux parties indépendantes, l'une sur les probabilités conditionnelles et l'autre sur la loi binomiale.

• Partie A - Probabilités conditionnelles : Face à un problème de test de dépistage, la première étape est de traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. Ensuite, on applique la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité d'un événement. Enfin, on calcule une probabilité conditionnelle \(P(D|T)\) (sachant que le test est positif, quelle est la probabilité d'être dopé ?), ce qui revient à inverser le conditionnement de l'arbre.
• Partie B - Loi Binomiale : Cette partie modélise une situation par une variable aléatoire \(X\). Il faut justifier l'utilisation d'une loi binomiale en vérifiant qu'il s'agit de la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On demande ensuite de calculer et d'interpréter l'espérance de cette variable aléatoire. L'exercice se termine par une question classique : calculer le nombre minimal d'essais pour que la probabilité d'un événement (ici, "au moins un test positif") dépasse un certain seuil. Cette dernière question nécessite souvent la résolution d'une inéquation à l'aide de la fonction logarithme.