Introduction
Allez les amis, on est parti pour comprendre une phrase qui revient beaucoup en contrôle : "Qu'est-ce que c'est que les limites d'une fonction au bord de son intervalle de définition ?" On se fait ça quand vous donne une fonction de ce type là qui est définie sur un certain intervalle. Les bornes de l'intervalle de définition, ce sont tous les endroits, tous les nombres pour lesquels on pourrait se poser la question de la limite.
Exemple de fonction
Prenons le cas de la fonction \(f(x)\). Elle est définie sur \(\mathbb{R}\) privé de \(a\), c'est-à-dire que je vais mettre là-dedans tous les nombres réels de \(-\infty\) jusqu'à \(+\infty\) et je veux exclure \(a\). Du coup, les limites potentielles sont d'abord celle là : la limite en \(+\infty\) et évidemment celle là : la limite en \(-\infty\). Et il y a évidemment celle quand je me rapproche de \(1\). Mais attention, quand on se rapproche de \(1\), on peut y arriver par la gauche ou on peut y arriver par la droite. Donc en fait, on va calculer 4 limites :
1. La limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\)
2. La limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\)
3. La limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(1\) en étant plus grand que \(1\) (soit \(1^+\))
4. La limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(1\) en étant plus petit que \(1\) (soit \(1^-\))
Exercice proposé
On ne va pas faire ces calculs ici. Moi, j'aimerais que vous le fassiez dans l'exercice en dessous, en reprenant les limites et en essayant de les trouver, les quatre, en regardant les calculs qu'on a fait avant. C'est un cas typique. Vous allez avoir un problème pour la limite en \(0\) avec une forme indéterminée de type \(0/0\). Sachez que vous savez comment lever cette indétermination. Faites un petit coup de règle de l'Hôpital. En \(+\infty\) et \(-\infty\), vous allez aussi avoir des formes indéterminées à lever. Factorisez en haut et en bas pour le calcul de la limite comme vous l'avez déjà fait plein de fois. Faites les exercices en dessous, ils vont vous faire vraiment du bien. Ça ressemble à ce que vous avez en contrôle et des corrections ultra détaillées sont fournies. À vous de jouer, vous êtes les champions !