6. Position relative d'une fonction et de sa tangente

Introduction

Allez les amis, on est parti pour la première vraie compétence de ce chapitre : la première compétence qui tombe au contrôle. Comment trouver la position relative d'une fonction et de sa tangente quand on vous donne un point de calcul ? On se fait ça tout de suite. Depuis la première, on l'a vu dans cette vidéo, pour trouver la position relative de deux objets en mathématiques, la technique est de faire la différence. Si on vous donne \(F\) et \(G\), on vous demande la position relative, vous étudiez \(F - G\). Quand c'est positif, ça veut dire que \(F\) est au-dessus de \(G\), quand c'est négatif, \(F\) est en dessous.

Calcul de la tangente

Le problème c'est que ici, on vous donne un premier objet \(FX\), on vous donne un deuxième objet, la tangente, on vous demande la position relative. Sauf que quand vous allez vouloir calculer \(FX -\) la tangente, vous allez vous heurter au fait que vous n'avez pas l'expression de la tangente en fonction de \(x\). Du coup, la première étape de cet exercice, ça va être de calculer l'expression de la tangente. Une fois qu'on aura l'expression de la tangente, on va pouvoir calculer la différence et une fois qu'on aura calculé la différence, on va pouvoir étudier son signe pour savoir qui est au-dessus et qui est en dessous. L'expression de la tangente se note \(y = F'(a)(x - a) + F(a)\) avec \(a\) l'endroit où vous voulez la calculer. On vous a dit de la calculer au point d'abscisse 1 donc \(y = F'(1)(x - 1) + F(1)\). Pour calculer \(F(1)\), aucun problème, on prend \(FX\) et on remplace \(X\) par 1 donc ça me fait \(4 / (1 + 1)\) donc \(4 / 2\) donc \(2\). Donc mon \(F(1)\) vaut \(2\). Pour calculer \(F'(1)\), il faut prendre \(F\) la dérivée donc \(F = 4 \times (1 / (X + 1))\). Quand je veux le dériver, ça va me faire \(4 \times\) la dérivée de \(1 / (X + 1)\). Quand vous avez \(4\) qui multiplie une fonction et que vous voulez dériver, vous gardez le \(4\), il ne bougera pas et vous dérivez la fonction qui est là. Cette fonction \(1 / (X + 1)\) c'est \(1 / U(X)\) et \(1 / U(X)\) vous savez le dérivé c'est \(-U' / U^2\). Donc ça me fait \(-\) la dérivée de \(X + 1\) c'est à dire \(-1 / (X + 1)^2\) et donc ça va me faire \(-4 / (X + 1)^2\). Du coup, quand vous voulez calculer \(F'(1)\), vous avez juste à prendre la fonction dérivée et à remplacer \(X\) par \(1\) donc ça va me faire \(-4 / (1 + 1)^2\) sauf que \(1 + 1\) au carré ça me fait \(2^2\) ça me fait \(4\) et \(-4 / 4\) ça me fait \(-1\). Donc là je me retrouve avec \(-1(x - 1) + 2\) et je la range pour que ça ait une tête de fonction affine, ça va me faire \(-x + 3\). Donc \(y = -x + 3\) c'est l'équation de ma tangente.

Calcul de la différence

Maintenant que j'ai \(FX\) et la tangente, je vais pouvoir calculer la différence. Cette différence, j'ai choisi de l'appeler du nom d'une lettre grecque qui est Delta. Delta en grec c'est la lettre D et c'est D pour différence. Donc souvent en mathématiques, en physique, quand on calcule une différence, on utilise Delta. Donc \(\Delta(X)\) la différence entre \(F\) et sa tangente, ça va être \(4 / (X + 1)\) c'est à dire \(FX -\) la tangente \(-x + 3\). Je veux calculer \(\Delta\) pour étudier son signe donc mon \(\Delta\) il faut qu'il soit sous une forme qui est exploitable en termes de signes, d'étude de signes et les deux seules formes que vous savez étudier en termes d'étude de signes, c'est les produits et les quotients. Donc on va mettre ça sous forme d'un quotient. Comment est-ce qu'on va faire ça ? On va tout mettre au même dénominateur donc là je multiplie par \(x + 1\) en haut et en bas. Pourquoi est-ce que je fais ça ? Parce que maintenant tout est sur \(X + 1\). Donc j'ai mon \(\Delta(X)\) qui va être, je tire une grande barre sur \(X + 1\) et en haut j'aurais \(4 - (x + 3)(x + 1)\). Je vais développer ce truc là pour le mettre sous la forme la plus simplifiée possible donc le \(4\) j'y touche pas, le moins j'y touche pas donc j'ai un problème mon \(4 -\) et je développe ce double produit donc \(-x(x) - x(1) + 3(x) + 3\) sur \(x + 1\). Et maintenant je vais nettoyer ça donc je vais prendre cette expression là, je vais distribuer le moins pour faire sauter les parenthèses et ensuite je vais calculer donc ça va faire \(4 + x^2 + x - 3x - 3 / (x + 1)\). Et là je me régale à simplifier, c'est que du plaisir. \(4 - 3\) ça me fait \(1\), \(x^2\) il est tout seul ici, \(x - 3x\) ça me fait \(-2x\) sur \(X + 1\). Et là vous vous dites mais la vie est bien faite parce que vous connaissez par cœur vos identités remarquables et vous savez que \(x^2 - 2x + 1\) c'est \((x - 1)^2\). Sur ça c'est une belle forme facile à étudier. J'ai un carré donc ça ça sera toujours positif et j'ai un dénominateur on s'étudie le signe parce que n'oublie pas que l'idée c'est de calculer la tangente, de calculer la différence et d'étudier le signe de la différence.

Étude du signe de la différence

Donc pour étudier le signe d'un quotient, ce qu'on fait par réflexe, c'est un tableau de signe. Donc pour faire un tableau de signe d'un quotient, il y aura une ligne avec ça, une ligne avec ça puis une avec le quotient. Donc mon tableau de signe, il va ressembler à une première ligne qui sera \(x\), ensuite une ligne pour le haut donc \((x - 1)^2\), une pour le bas \(x + 1\) et une ligne pour la totale qui est \(\Delta(X)\). On va d'abord remplir la ligne \(x\), c'est-à-dire on va d'abord se demander pour quelle valeur de \(x\) est-ce que nous on va étudier cette différence parce que on va pas étudier la position relative de la fonction et de la tangente à un endroit où la fonction n'existe pas. Donc on va d'abord se demander quel est l'ensemble de définition de cette fonction. Cette fonction-là, c'est un quotient, vous avez un réflexe quand on étudie un quotient, c'est de vous demander il faut surtout pas que le dénominateur s'annule parce que sinon je me retrouve à diviser par 0. Donc quand vous cherchez l'ensemble de définition de cette fonction, la question que vous devez vous poser c'est quand est-ce que le bas s'annule. Dès que vous avez trouvé la valeur pour laquelle le bas est nul, vous la virez, on en veut pas. Le bas est nul quand \(x\) vaut \(-1\) donc je sais que \(-1\) ça va être ma valeur interdite. \(-1\) je veux pas faire l'étude pour \(-1\), \(\Delta(-1)\) ça m'intéresse pas. En réalité c'est pas tellement que c'est pas défini, c'est que c'est une zone qui m'intéresse pas. Peut-être que \(\Delta(-1)\) sera défini mais en tout cas ça m'intéresse pas de le savoir vu que ça existe pas. Et ensuite à gauche et à droite ça sera \(-\infty\) et \(+\infty\). Ensuite on étudie le signe tranquillement. \((x - 1)^2\) ça s'annule quand \(x\) vaut \(1\) donc ici ça fait \(0\), entre temps c'est toujours positif et positif vu que j'ai un carré. \(x + 1\) ça s'annule ici quand \(x = -1\). C'est une fonction affine croissante ou décroissante ? Est-ce que \(X + 1\) c'est une fonction affine croissante ou décroissante ? Le coefficient qui est devant c'est \(1\), c'est une fois \(x\), un c'est un nombre positif donc cette fonction elle est croissante. Si vous êtes en train de croître et que vous vous annulez juste avant, vous étiez de quel signe ? Si vous grimpez et vous atteignez zéro, ça veut dire que juste avant vous étiez négatif et juste après positif. Du coup notre tableau de signe, ça va être tout simplement ça avec \(1, 0\) qui tient ici donc moi plus plus. Et maintenant on regarde son tableau de signe et on se pose la question qui fait du bien, la question c'est comment traduire ce tableau là qui est absolument sale. Donc je vais le refaire pour que ce soit un peu plus beau. On a un beau tableau, on va interpréter ça en terme de position relative. Prenons par exemple le premier intervalle, l'intervalle \(-\infty, -1\). Donc de \(-\infty\) jusqu'à \(-1\) exclu parce que c'est une valeur interdite, c'est pas une valeur d'étude. On sait que notre \(\Delta(X)\) est négatif donc on sait que \(FX -\) la tangente est négatif. Autrement dit, on sait que \(F(X)\) est plus petit que la tangente. Si \(F(X)\) est plus petit que la tangente, ça veut dire que \(F\) est en dessous. Et inversement ici, si c'est positif, c'est à dire que \(F\) est au dessus. Et vous avez fini et vous pouvez même rajouter quand ça vaut \(0\), c'est un cas particulier, ça veut dire qu'on a \(\Delta\) qui est nul, ça qui est nul donc ça qui est égal donc \(F(X)\) est égal à la tangente. Autrement dit, les deux courbes se croisent. On vous a mis des exercices en dessous, ça c'est un exercice ultra complet qui tombe au contrôle. À vous de jouer, vous êtes des champions.