5. Équation de la tangente

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment déterminer l'équation d'une tangente en terminale quand vous avez des fonctions composées en utilisant la formule de la dérivation composée. On se fait ça tout de suite.

Rappel sur la tangente

Pour rappel, pour donner l'équation d'une tangente, il vous faut deux choses. Premièrement, une compréhension de ce qu'est la tangente. Je vous rappelle que quand vous avez une fonction, et plus particulièrement la représentation graphique d'une fonction, la tangente au point \( (4, 6, 1) \) c'est la droite qu'on irait tracer à cet endroit, c'est-à-dire pour mixer gallen et qui viendrait raser la fonction. Cette droite est une fonction affine qui s'écrit \( y = ax + b \). Sa formule, vous l'avez, elle s'affiche là. Pour la calculer, on applique \( y = f'(a)(x - a) + f(a) \), sachant que c'est le point où vous voulez la calculer.

Calcul de l'équation de la tangente

Donc ici, vous savez que l'équation de votre droite ça va être \( y = f'(1)(x - 1) + f(1) \). Aucun problème, \( f(1) \) je peux l'avoir ici, c'est \( e^{1^2} - e^{-1^2} - 1 \). \( x - 1 \) je ne le touche pas, surtout on remplace pas \( x \) par une valeur, on laisse \( x \) tel quel. Pourquoi ? Parce qu'à la fin on veut du \( x \). Donc si vous remplacez votre \( x \) par une valeur, vous n'aurez plus de \( x \), vous aurez fait l'équation d'une droite. Le seul problème c'est de trouver \( f'(a) \). Comment est-ce qu'on va faire pour trouver \( f'(a) \) ? On va dériver \( f \). Comment est-ce qu'on fait pour dériver \( f \) ? On utilise la formule qu'on a vu dans les compétences précédentes. Quand vous avez une fonction composée, c'est-à-dire \( f(g(x)) \) avec une fonction coeur qui est \( g \) et une fonction englobante \( f \), la formule c'est \( f'(g(x))g'(x) \). Donc ici, ma fonction coeur c'est \( x^2 - 1 \), ma fonction enveloppante c'est \( e^x \). Donc je peux dire que mon \( g(x) \) ça va être \( x^2 - 1 \) et mon \( f(x) \) c'est-à-dire ma fonction englobante, celle qui fait le tour de l'autre, c'est \( e^x \). Et j'applique ma formule. J'ai pris ma fonction \( f'(g(x)) \), donc la fonction dérivée de \( e^{2x} \), donc sa dérivée est \( 2e^x \). Sauf que l'intérieur de l'exponentielle c'est \( e^{2x} \), pas \( e^x \). J'ai pris une fois \( f(g(x)) \), donc \( e^{2x} \), et j'ai pris \( g'(x) \), donc je vais remettre à l'intérieur de cette fonction dérivée ma fonction initiale, \( x^2 - 1 \), et j'ai \( 2x \). Et du coup, ma dérivée \( f'(x) \) est \( 2e^{2x}(2x - 1) \). Donc, \( 2e^{2x}(2x - 1) + e^{2x} - e^{-2x} - 1 \) ça fait \( 2x - 1 + 1 \) et ça me fait \( 2x \). Donc, \( 2x - 1 \) et je prends ça pour l'équation de ma tangente, \( y = 2x - 1 \). On vous a mis des petits exercices en dessous pour vérifier si c'est bien clair. Faites-les, ça tombe au contrôle. À vous de jouer, vous êtes des champions.