Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir en 3 minutes comment démontrer qu'une fonction admet une asymptote oblique. On s'y met tout de suite.
DĂ©finition d'une asymptote oblique
Une fonction admet une asymptote oblique si cette fonction va se rapprocher indéfiniment d'une droite d'équation \(y = ax + b\), qui est une asymptote oblique, par opposition aux asymptotes horizontales et verticales. Donc une fonction va admettre cela comme une asymptote si elle vient se rapprocher de cette droite à l'infini. Autrement dit, si la distance entre la fonction et cette droite tend vers zéro lorsque \(x\) tend vers l'infini.
DĂ©monstration
Si on note \(f(x)\) la fonction et \(y = ax + b\) la droite, on veut que l'écart entre ces deux tende vers zéro. Donc en fait, on veut que la limite de \(f(x) - (ax + b)\) soit égale à zéro. Parce que quand elle est égale à zéro, cela signifie que la fonction se rapproche indéfiniment de la droite. Donc on cherche à démontrer que la limite de \(f(x) - (ax + b)\) est égale à zéro.
Prenons par exemple la fonction \(f(x) = -3x^2 + 2x + 1\), et supposons que notre asymptote soit \(y = ax + b = -3x + 2\). On cherche donc à démontrer que la limite de \(f(x) - (-3x + 2)\) est égale à zéro quand \(x\) tend vers l'infini.
Pour cela, on va tout mettre au même dénominateur, c'est-à -dire \(x\). Cela nous donne la limite quand \(x\) tend vers l'infini de \(-3x^2/x + 2x/x - (-3x/x + 2/x)\). En simplifiant, on obtient la limite quand \(x\) tend vers l'infini de \(-3x + 2 - 3 + 2/x\).
On veut montrer que cette limite est égale à zéro. Or, la limite quand \(x\) tend vers l'infini de \(1/x\) est bien zéro. Donc la limite de \(f(x) - (ax + b)\) est bien égale à zéro.
Cela démontre que la droite \(y = -3x + 2\) est bien une asymptote oblique à la fonction \(f(x) = -3x^2 + 2x + 1\).
Conclusion
Voilà , vous avez maintenant une méthode pour démontrer qu'une fonction admet une asymptote oblique. N'hésitez pas à faire des exercices pour vous entraîner, notamment des variations où l'on vous demande de trouver la valeur du nombre \(a\) ou \(b\) de l'asymptote. Bon courage, vous êtes des champions !