Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment interpréter graphiquement des limites de fonction et on va parler notamment des asymptotes horizontales et verticales. Vous allez voir, c'est très simple. On se fait ça tout de suite.

Asymptotes horizontales et verticales

Alors, les asymptotes, c'est une droite vers laquelle la fonction va aller se coller quand elle tend vers un nombre. Je vous donne deux exemples : ceci est une asymptote, c'est une droite vers laquelle la fonction va se coller et ceci est une autre asymptote. On a des asymptotes horizontales et des asymptotes verticales. On va essayer de dessiner une fonction qui a ces deux asymptotes. Donc l'idée c'est que la fonction soit à la fois collée à la courbe bleue et collée à la courbe orange à un moment. Si on doit parler en termes de limites, parce que je vous rappelle que les asymptotes sont des droites vers lesquelles ma fonction va se coller pour des comportements en limite. Par exemple, si on a une limite vers 3, que cette limite tend vers zéro, est-ce que c'est une asymptote horizontale ou verticale ? Vous l'aurez vu, ces comportements quand je me colle à une droite horizontale, c'est forcément quand je calcule des limites de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers plus ou moins l'infini. Ce sera toujours des infinis et ces limites vont nécessairement tendre vers un nombre fini qu'on appelle \(a\). Donc quand la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers plus ou moins l'infini est égale à \(a\), on a une asymptote horizontale et l'équation de cette asymptote est \(y = a\).

Comportement de la fonction

Le deuxième cas, c'est non pas un comportement vers plus ou moins l'infini, mais au contraire, c'est le comportement quand la fonction tend vers un certain nombre, ce nombre on va l'appeler \(a\). Donc on est sur un cas où la limite de \(f(x)\) on la calcule non pas en plus ou moins l'infini mais en \(a\) et cette limite elle doit être égale soit à moins l'infini soit à plus l'infini. Donc cette limite vaut plus ou moins l'infini, dans ce cas là on a une asymptote verticale et son équation est \(x = a\). Maintenant, laissez-moi modifier très légèrement la fonction parce qu'il y a moyen que je me sois un peu planté et que ça ne marche pas. Donc, commençons par la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\). Ça me fait \(-1/0 - 2/1 - 1/0 - 2/0\), ça me fait tout simplement moins l'infini. Donc on a \(f(x)\) qu'on calcule une limite quand \(x\) tend vers \(a\), donc c'est ce cas là, est-ce que c'est bien les gars là plus ou moins l'infini ? Oui, c'est égal à moins l'infini donc je peux dire que c'est une asymptote verticale d'équation \(x = a\). Dans ce cas là, la limite en plus un de \(f(x)\) c'est plus l'infini. Sur plus l'infini, je fais une factorisation par le terme de plus haut degré, vous savez faire, est-ce que vous n'avez pas le faire, allez regarder la vidéo qui vous explique comment régler ce genre de problème et je trouve une limite de 1. Donc je suis bien dans le cas où \(x\) tend vers plus ou moins l'infini, ma limite c'est un nombre fini donc j'ai une asymptote horizontale d'équation \(y = 1\).

Conclusion

Et c'est terminé. Alors on vous a mis des petits exercices en dessous, prenez note de ces deux trucs là, faites votre fiche et entraînez-vous, ça va vraiment vous faire du bien.