Ce sujet de mathématiques de niveau Terminale Spécialité est un contrôle complet portant sur les chapitres de la dérivation, l'étude de suites numériques et le raisonnement par récurrence. D'une durée indicative de 1h50, il constitue une excellente préparation au baccalauréat. Retrouvez une analyse détaillée de chaque exercice pour comprendre les attendus et les méthodes de résolution. Ce document peut servir de contrôle corrigé pour les élèves souhaitant s'entraîner en conditions réelles.

Exercice 1 : Maîtrise des dérivées de fonctions composées

Cet exercice rapide évalue la capacité à dériver des fonctions composées, une compétence fondamentale en analyse. Il ne requiert pas l'étude des ensembles de définition ou de dérivabilité, se concentrant purement sur la technique de dérivation.

• La première fonction, \( f(x) = 3e^{e^x} \), est une composition de deux fonctions exponentielles. Pour la dériver, on utilise la formule \( (e^u)' = u'e^u \) en posant \( u(x) = e^x \). C'est un excellent test de la compréhension de la règle de la chaîne.
• La seconde fonction, \( g(x) = \frac{1}{(1-5x^2)^3} \), peut être réécrite sous la forme \( g(x) = (1-5x^2)^{-3} \). Sa dérivée s'obtient avec la formule \( (u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1} \), où \( u(x) = 1-5x^2 \) et \( n = -3 \). Cet exemple vérifie la maîtrise de la dérivation des fonctions puissances et inverses composées.

Exercice 2 : Calcul de limites de suites

Ce deuxième exercice aborde un point central du chapitre sur les suites : le calcul de limites. Trois cas de figure sont présentés, nécessitant l'application de différentes techniques.

• La première suite, \( u_n = -\sqrt{n} + \frac{1000}{n} \), est une somme de deux suites de référence. Il s'agit d'appliquer les opérations sur les limites pour conclure, ici une limite infinie.
• La deuxième suite, \( v_n = \frac{3n-1}{2n^2-5n+3} \), présente une forme indéterminée du type \( \frac{\infty}{\infty} \). La méthode classique consiste à factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur pour lever l'indétermination. C'est un classique des sujets de bac.
• La troisième suite, \( w_n = \frac{\cos(n)}{n} - 1 \), fait intervenir une fonction trigonométrique bornée. Le calcul de sa limite repose sur l'utilisation du théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement), en encadrant le terme \( \cos(n) \).

Exercice 3 : Étude de suites dans un contexte de modélisation

Cet exercice, le plus long du sujet, est un problème complet de modélisation de l'évolution d'une population animale à l'aide de deux types de suites. C'est un excellent exemple de problème de maths type bac.

Partie A : Modèle avec une suite géométrique

On étudie une population modélisée par une suite géométrique \( (u_n) \). Les questions sont progressives :

• Calcul d'un terme de la suite pour une année donnée.
• Détermination de l'expression explicite \( u_n \) en fonction de \( n \).
• Calcul de la limite de la suite, qui, dans ce cas (raison comprise entre -1 et 1), tend vers zéro, et interprétation de ce résultat dans le contexte du problème (extinction de la population).

Partie B : Modèle avec une suite récurrente

La seconde partie analyse un modèle plus complexe, défini par une relation de récurrence du type \( v_{n+1} = f(v_n) \), où \( f \) est une fonction polynomiale du second degré. C'est une étude de suite classique qui combine analyse de fonction et raisonnement par récurrence.

• On commence par étudier les variations de la fonction \( f(x) = -0,05x^2 + 1,1x \) en calculant sa dérivée et en étudiant son signe.
• La question centrale est une démonstration par récurrence complexe, visant à prouver que la suite est à la fois décroissante et minorée (\( 2 < v_{n+1} \le v_n \le 6 \)).
• Grâce à ce résultat, on applique le théorème de la convergence monotone (ou théorème de la limite monotone) pour affirmer que la suite converge.
• Enfin, on détermine la valeur de la limite \( l \) en résolvant l'équation \( f(l) = l \), une étape cruciale dans l'étude de ce type de suites.

Exercice 4 : QCM sur les algorithmes et les limites

Ce QCM teste la compréhension sur deux points distincts du programme.

• La première question demande d'interpréter un algorithme Python qui calcule un seuil. Il faut comprendre le fonctionnement de la boucle `while` pour déterminer ce que la fonction retourne exactement.
• La deuxième question porte sur la limite de la suite \( u_n = (-1)^n + \sqrt{n} \). Il faut identifier le terme dominant et utiliser un théorème de comparaison pour conclure, malgré le terme oscillant \( (-1)^n \).

Exercice 5 : Démonstration par récurrence d'une somme

Le dernier exercice est une application directe du raisonnement par récurrence pour démontrer une formule de somme. On doit prouver que la somme des carrés des premiers entiers impairs, \( S_n = 1^2 + 3^2 + \dots + (2n-1)^2 \), est égale à \( \frac{1}{3}n(2n+1)(2n-1) \). L'exercice requiert de la rigueur dans la rédaction des étapes d'initialisation et d'hérédité, ainsi qu'une certaine aisance en calcul littéral pour manipuler les expressions algébriques lors de l'étape d'hérédité.