Ce sujet de contrôle en mathématiques pour la classe de Terminale spécialité est une excellente ressource pour s'entraîner et réviser trois chapitres fondamentaux du programme : l'étude des suites numériques, la composition de fonctions, ainsi que la dérivation et la convexité. Ce document, proposé sans calculatrice, met l'accent sur la maîtrise des techniques de calcul et des raisonnements théoriques. Vous trouverez ici une analyse détaillée de chaque exercice, qui vous aidera à comprendre les compétences attendues et à préparer efficacement vos examens. Idéal pour les élèves visant une mention au baccalauréat.

Exercice 1 : Étude de suites (6 points)

Cet exercice classique porte sur l'étude d'une suite homographique \( (u_n) \) à l'aide d'une suite auxiliaire \( (v_n) \). On définit les suites par :

• \( u_0 = 1 \) et pour tout entier naturel n, \( u_{n+1} = \frac{4u_n}{u_n + 4} \)
• \( v_n = \frac{4}{u_n} \)

1. a. Démonstration de la décroissance de \( (u_n) \) : Pour prouver que la suite est décroissante, il faut étudier le signe de la différence \( u_{n+1} - u_n \). Le calcul mène à \( u_{n+1} - u_n = \frac{-u_n^2}{u_n+4} \). Comme \( u_n > 0 \), le numérateur est négatif et le dénominateur est positif. La différence est donc négative, ce qui prouve que \( (u_n) \) est décroissante.
2. b. Convergence de la suite \( (u_n) \) : La question de la convergence fait appel au théorème de la convergence monotone. La suite \( (u_n) \) est décroissante (question 1a) et minorée par 0 (car \( u_n > 0 \)). Toute suite décroissante et minorée est convergente. La justification est donc directe.
3. a. Nature de la suite auxiliaire \( (v_n) \) : Pour montrer que \( (v_n) \) est une suite arithmétique, on calcule la différence \( v_{n+1} - v_n \). En substituant \( u_{n+1} \), on trouve : \( v_{n+1} = \frac{4}{u_{n+1}} = \frac{4(u_n+4)}{4u_n} = 1 + \frac{4}{u_n} = 1 + v_n \). La différence \( v_{n+1} - v_n = 1 \) est constante. \( (v_n) \) est donc une suite arithmétique de raison \( r=1 \). Son premier terme est \( v_0 = \frac{4}{u_0} = 4 \).
4. b. Expression explicite de \( v_n \) : Connaissant la nature de la suite, on utilise la formule du terme général d'une suite arithmétique : \( v_n = v_0 + nr \), ce qui donne \( v_n = 4 + n \).
5. Expression explicite de \( u_n \) : À partir de la relation \( v_n = \frac{4}{u_n} \), on isole \( u_n \) pour obtenir \( u_n = \frac{4}{v_n} \). En remplaçant \( v_n \) par son expression explicite, on trouve \( u_n = \frac{4}{4+n} \).
6. Limite de la suite \( (u_n) \) : Le calcul de la limite de l'expression trouvée est simple : \( \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{4}{4+n} \). Comme le dénominateur tend vers \( +\infty \), la limite de la suite est 0.

Exercice 2 : Composition de fonctions et dérivation (6 points)

Cet exercice se concentre sur la manipulation des fonctions composées, la détermination de leur ensemble de définition et le calcul de dérivées complexes.

1. a. Décomposition de fonction : Pour la fonction \( f(x) = \sqrt{2x^2 - x - 1} \), on cherche \( u \) et \( v \) telles que \( f = u \circ v \). Le choix naturel est \( v(x) = 2x^2 - x - 1 \) (polynôme défini sur \( \mathbb{R} \)) et \( u(x) = \sqrt{x} \) (fonction racine carrée définie sur \( [0, +\infty[ \)).
2. b. Ensemble de définition : L'ensemble de définition de \( f \) est l'ensemble des réels \( x \) pour lesquels \( v(x) \ge 0 \). Il faut donc résoudre l'inéquation du second degré \( 2x^2 - x - 1 \ge 0 \). Après calcul du discriminant \( (\Delta = 9) \) et des racines \( x_1 = -1/2 \) et \( x_2 = 1 \), on établit le tableau de signe du polynôme. Celui-ci est positif à l'extérieur des racines, d'où l'ensemble de définition \( ]-\infty; -1/2] \cup [1; +\infty[ \).
3. Calcul de dérivée : Il s'agit de dériver la fonction \( g(x) = \frac{1}{x} (x^2 - 1)^5 \) sur \( \mathbb{R}^* \). Cette fonction est un produit de la forme \( U(x)V(x) \). La dérivation nécessite d'appliquer la formule \( (UV)' = U'V + UV' \) ainsi que la formule de dérivation des fonctions composées pour le terme \( (x^2-1)^5 \). La dérivée est \( g'(x) = (x^2-1)^4 \frac{9x^2+1}{x^2} \).

Exercice 3 : Vrai ou Faux avec justification (8 points)

Cet exercice teste la capacité à analyser rapidement des affirmations et à fournir une justification mathématique rigoureuse, couvrant à la fois les suites et les fonctions.

• Affirmation 1 : La limite de \( u_n = (\frac{4}{3})^n - \cos^2(n) \) serait -1. C'est FAUX. Le terme \( (\frac{4}{3})^n \) est une suite géométrique de raison \( q = 4/3 > 1 \), donc sa limite est \( +\infty \). Le terme \( -\cos^2(n) \) est borné entre -1 et 0. Par somme, la limite de \( (u_n) \) est \( +\infty \).
• Affirmation 2 : La fonction \( f(x) = x e^{x^2-1} - 1 \) serait convexe sur \( [0; +\infty[ \). C'est VRAI. Pour étudier la convexité, il faut déterminer le signe de la dérivée seconde \( f''(x) \). La dérivée première étant donnée \( f'(x) = (2x^2 + 1) e^{x^2-1} \), on dérive une seconde fois (en utilisant la dérivée d'un produit et d'une composée). On obtient \( f''(x) = 2x(2x^2+3)e^{x^2-1} \). Sur \( [0; +\infty[ \), tous les facteurs de cette expression sont positifs ou nuls. Donc \( f''(x) \ge 0 \), ce qui prouve que \( f \) est convexe sur cet intervalle.
• Affirmation 3 : La fonction \( g \) serait concave sur \( [-2; 2,1] \), sachant que le graphique représente sa dérivée \( g' \). C'est FAUX. Une fonction \( g \) est concave si sa dérivée seconde \( g'' \) est négative, ce qui équivaut à dire que sa dérivée première \( g' \) est décroissante. Or, en observant le graphique fourni, on constate que la fonction \( g' \) est croissante sur l'intervalle \( [-2, 1] \) (approximativement) avant de devenir décroissante. Puisque \( g' \) n'est pas décroissante sur tout l'intervalle \( [-2; 2,1] \), l'affirmation est fausse.