11. Déterminer graphiquement la convexité et l'inflexion

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment déterminer graphiquement quand est-ce qu'une fonction est concave ou convexe et surtout pour voir comment trouver les points d'inflexion. On se fait ça tout de suite.

Étude de la convexité d'une fonction

On est dans un exercice où on vous a donné la représentation graphique d'une fonction \(f\) et on vous dit : "Étudier la convexité", c'est-à-dire dites-moi où est-ce que la fonction est concave et où est-ce que la fonction est convexe. Graphiquement, retenez ça : dans le mot "concave", il y a la lettre "A" et donc, c'est un peu bête, mais dans "convexe", il y a la lettre "V". Les plus malins d'entre vous et peut-être ceux qui sont un petit peu en train de chercher la mouise diront : "Oui, mais il y a un V aussi dans concave". C'est vrai, c'est le meilleur moyen mnémotechnique que j'ai trouvé. Si vous n'êtes pas content, trouvez le vôtre. En attendant, concave il y a un "A", convexe il y a un "V". Globalement, graphiquement, quand ça ressemble à un "A", c'est concave, quand ça ressemble à un "V", c'est convexe. Et on va voir comment on retrouve la définition qui s'affiche là : une fonction est concave quand elle est en dessous de toutes ses tangentes et convexe quand elle est au-dessus.

Application sur un exemple

Donc, si je prends cette fonction et que je commence à dessiner ses tangentes, la fonction est comment par rapport à la tangente ? Par exemple, ici, la fonction est au-dessus de la tangente. Ici, elle touche la tangente, en même temps c'est le point où j'ai dessiné. Ici, la fonction est au-dessus de la tangente. En fait, partout, la fonction est au-dessus de la tangente. Si je fais une tangente ici, je me rends compte que la fonction est encore au-dessus de la tangente. Si je fais une tangente là, elle est au-dessus de la tangente. Si je fais une tangente là, elle est toujours au-dessus de la tangente. Donc, on se rend compte que sur toute cette section, la fonction est au-dessus de sa tangente. Tant que la fonction est au-dessus de la tangente, elle est convexe. Donc, jusqu'ici, où la fonction est confondue avec sa tangente, la fonction est convexe. Maintenant, regardez, je trace des tangentes. Une tangente, la fonction est en dessous de sa tangente ici, ici, ici et ici. Donc, là, je vais avoir, attention, jusqu'ici c'était convexe, jusque là, c'est concave. Et l'endroit où la fonction passe de convexe à concave, c'est cet endroit-là, ça s'appelle le point d'inflexion. Je passe de convexe à concave. Graphiquement, concave, ça fait une bosse, convexe, ça fait un creux. Vous dessinez les tangentes pour voir si elle est au-dessus ou en dessous et l'endroit où on passe de concave à convexe, c'est-à-dire l'endroit où la tangente va traverser la courbe. Car regardez, ici, la tangente rase la courbe, elle la touche mais ne la traverse pas. Ici, elle ne la traverse pas. Ici, elle ne la traverse pas. Alors qu'ici, la tangente va d'abord en dessous puis au-dessus. Effectivement, on passe de convexe à concave. On vous a mis des petits exercices. La représentation graphique est la manière la plus simple de voir quand est-ce qu'une fonction est concave ou convexe. À vous de jouer, vous êtes des champions.