Ce sujet de Bac Blanc de mathématiques pour la Terminale Spécialité est un excellent entraînement pour l'épreuve finale. D'une durée de 4 heures, il balaye une grande partie du programme à travers 4 exercices complets : géométrie dans l'espace, étude de fonctions (logarithme, convexité), suites numériques (arithmético-géométrique, récurrente) et probabilités (conditionnelles, loi binomiale). Ce contrôle corrigé permet de tester ses connaissances et sa capacité à raisonner sur des problèmes complexes. Idéal pour les révisions du baccalauréat.

Exercice 1 : Géométrie dans l'espace et Étude de fonction (10 points)

Cet exercice est divisé en deux parties indépendantes, l'une portant sur la géométrie vectorielle dans l'espace et l'autre sur l'analyse de fonction.

• Partie A : QCM de Géométrie dans l'espace

  Dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on étudie les positions relatives de plusieurs points. Il s'agit d'un QCM où chaque réponse doit être justifiée.

  • Question 1 : Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite \((AB)\). Cela revient à calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\).
  • Question 2 : Vérifier si des points sont alignés. Il faut pour cela tester la colinéarité de deux vecteurs, par exemple, pour vérifier si A, B, et E sont alignés, on doit vérifier si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AE}\) sont colinéaires.
  • Question 3 : Déterminer si un point appartient à un plan. Par exemple, pour savoir si \(E \in (ADF)\), on vérifie si les vecteurs \(\vec{AD}\), \(\vec{AF}\) et \(\vec{AE}\) sont coplanaires.

• Partie B : Étude d'une fonction avec Logarithme

  Cette partie se concentre sur l'analyse de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \ln(x^2 + x + 3)\).

  • Question 1 : Justifier que l'ensemble de définition est bien \(\mathbb{R}\). Il faut montrer que l'argument du logarithme, le trinôme \(x^2 + x + 3\), est strictement positif pour tout réel \(x\) (en calculant son discriminant \(\Delta\)).
  • Question 2 : Dresser le tableau de variations complet de \(f\). Cette question classique d'analyse de fonction demande de calculer la dérivée \(f'(x)\), d'étudier son signe, de déterminer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition (\(-\infty\) et \(+\infty\)), et de synthétiser ces informations dans un tableau.
  • Question 3 : Étudier la convexité de \(f\). Il faut calculer la dérivée seconde \(f''(x)\), étudier son signe pour déterminer les intervalles de convexité/concavité, et trouver les abscisses des éventuels points d'inflexion (là où la convexité change).

Exercice 2 : Étude de Suites Numériques (10 points)

Cet exercice aborde les suites à travers un problème de modélisation sur le télétravail dans une entreprise.

• Partie A : Suite arithmético-géométrique

  On modélise le nombre d'employés en télétravail par une suite \((a_n)\) définie par la relation de récurrence \(a_{n+1} = 0,8 a_n + 500\), avec \(a_0 = 300\).

  • On prouve que la suite auxiliaire \((v_n)\) définie par \(v_n = a_n - 2500\) est une suite géométrique, en déterminant sa raison et son premier terme.
  • On en déduit l'expression du terme général de \(v_n\), puis de \(a_n\), en fonction de \(n\).
  • Enfin, on doit compléter un algorithme en Python qui détermine le nombre de mois nécessaires pour que le nombre d'employés en télétravail dépasse un certain seuil.

• Partie B : Suite récurrente et raisonnement par récurrence

  On étudie une autre suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\) où \(f(x) = \frac{4x+3}{x+2}\).

  • Après avoir montré que la fonction \(f\) est croissante sur \([0; +\infty[\), on utilise un raisonnement par récurrence pour démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante et majorée : \(0 \le u_n \le u_{n+1} \le 3\).
  • On applique ensuite le théorème de la convergence monotone pour conclure que la suite \((u_n)\) est convergente.
  • Pour finir, on calcule la valeur de sa limite \(L\) en résolvant l'équation du second degré \(L = f(L)\).

Exercice 3 : Problème d'Analyse de Fonction (10 points)

Cet exercice est un problème d'analyse centré sur la fonction logarithme népérien et ses propriétés.

• Partie A : Étude d'une fonction rationnelle avec logarithme

  On étudie la fonction \(f(x) = \frac{2\ln(x) - 1}{x}\) sur \(]0; +\infty[\).

  • On commence par résoudre algébriquement l'équation \(f(x)=0\).
  • On dresse ensuite le tableau de variations de \(f\), ce qui implique le calcul des limites en \(0^+\) et en \(+\infty\) (en utilisant les théorèmes de croissances comparées) et l'étude du signe de la dérivée \(f'(x)\).

• Partie B : Lien entre deux fonctions via la dérivation

  On introduit une seconde fonction \(g(x) = (\ln(x))^2 - \ln(x)\).

  • La première étape est de démontrer que la dérivée de \(g\) est la fonction \(f\) de la partie A : \(g'(x) = f(x)\).
  • Grâce à cette relation, le tableau de variations de \(g\) peut être directement déduit du signe de \(f(x)\) étudié précédemment.
  • On utilise ce tableau de variations et le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour discuter du nombre de solutions de l'équation \(g(x) = m\) en fonction du paramètre réel \(m\).
  • L'exercice se termine par la résolution de l'équation \(g(x)=0\).

Exercice 4 : Probabilités Conditionnelles et Loi Binomiale (10 points)

Le dernier exercice est un problème de probabilités en deux parties, typique du baccalauréat.

• Partie A : Probabilités conditionnelles

  À partir de données statistiques sur les salariés d'une entreprise (hommes/femmes, cadres/non-cadres), on modélise la situation.

  • On construit un arbre pondéré pour représenter l'expérience aléatoire.
  • On calcule des probabilités d'intersections d'événements (\(P(F \cap C)\)).
  • On utilise la formule des probabilités totales pour trouver la probabilité qu'un salarié soit cadre.
  • On vérifie si les événements "être une femme" et "être cadre" sont indépendants.
  • On calcule une probabilité conditionnelle (\(P_C(F)\)) et on en donne une interprétation concrète.

• Partie B : Loi binomiale

  On s'intéresse maintenant à un échantillon de 15 salariés, assimilé à un tirage avec remise.

  • On justifie que la variable aléatoire \(X\) comptant le nombre de cadres suit une loi binomiale et on précise ses paramètres \((n, p)\).
  • On calcule une probabilité d'événement, \(P(X \le 1)\), en utilisant la formule de la loi binomiale.
  • On calcule l'espérance de \(X\) et on l'interprète.
  • La dernière question, plus difficile, consiste à déterminer la taille minimale \(n\) de l'échantillon pour que la probabilité d'avoir au moins un cadre soit supérieure à un seuil (0,99). Cela mène à la résolution d'une inéquation utilisant la fonction logarithme.